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5 Int´ egrale stochastique
Donc, F(M t ,
M, M
t
) est une martingale locale d` es que F v´ erifie l’´ equation
∂ F
∂ r
+
1
2
∂ 2 F
∂ x 2 = 0.
Or cette ´
equation est clairement v´ erifi´ ee par la fonction F(x, r) = exp(λ x −
λ 2
2 r)
(plus pr´ ecis´ ement par les parties r´ eelle et imaginaire de cette fonction). De plus
pour ce choix de F on a
∂ F
∂ x = λ F, ce qui conduit `
a la formule de l’´ enonc´ e.
5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆ o
Nous commenc ¸ons par un important th´ eor` eme de caract´ erisation du mouvement
brownien.
Th´ eor` eme 5.4 (L´ evy). Soit X = (X 1 , . . . , X d ) un processus adapt´ e `
a trajectoires
continues. Il y a ´
equivalence entre
(i) X est un (F t )-mouvement brownien en dimension d.
(ii) Les processus X 1 , . . . , X d sont des martingales locales et
X i , X j
t
= δ i j t
pour tous i, j ∈ {1, . . . , d} (ici δ i j est le symbole de Kronecker, δ i j = 1 {i= j} ).
En particulier, une martingale locale M est un (F t )-mouvement brownien si et
seulement si
M, M
t
= t, pour tout t ≥ 0.
D´ emonstration. L’implication (i)⇒ (ii) a d´ ej` a ´
et´ e discut´ ee `
a la fin du paragraphe
pr´ ec´ edent. Montrons la r´ eciproque. On suppose donc que la propri´ et´ e (ii) est
v´ erifi´ ee. Soit ξ ∈ R d . Alors, ξ · X t = ∑
d
j=1 ξ j X
j
t est une martingale locale de processus croissant
d
∑
j=1
d
∑
k=1
ξ j ξ k
X
j , X
k
t
= |ξ |
2 t.
D’apr` es la Proposition 5.6, exp(iξ · X t +
1
2 |ξ | 2 t) est une martingale locale. Cette
martingale locale ´
etant born´ ee sur les intervalles [0, T ], T > 0, est une vraie martingale (on d´ efinit de mani` ere ´
evidente la notion de martingale `
a valeurs complexes).
Donc, pour s < t,
E[exp(iξ · X t +
1
2
|ξ |
2 t) | F s ] = exp(iξ · X s +
1
2
|ξ |
2 s).
Il en d´ ecoule que, pour A ∈ F s ,
E[1 A exp(iξ · (X t − X s ))] = P[A] exp(−
1
2
|ξ |
2 (t − s)).
En prenant A = Ω , on voit que X t − X s est un vecteur gaussien centr´ e de covariance
(t − s)Id. De plus, fixons A ∈ F s avec P[A] > 0, et notons P A la probabilit´ e P A [·] =
P[A] −1 P[· ∩ A]. On voit que
5 Int´ egrale stochastique
Donc, F(M t ,
M, M
t
) est une martingale locale d` es que F v´ erifie l’´ equation
∂ F
∂ r
+
1
2
∂ 2 F
∂ x 2 = 0.
Or cette ´
equation est clairement v´ erifi´ ee par la fonction F(x, r) = exp(λ x −
λ 2
2 r)
(plus pr´ ecis´ ement par les parties r´ eelle et imaginaire de cette fonction). De plus
pour ce choix de F on a
∂ F
∂ x = λ F, ce qui conduit `
a la formule de l’´ enonc´ e.
5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆ o
Nous commenc ¸ons par un important th´ eor` eme de caract´ erisation du mouvement
brownien.
Th´ eor` eme 5.4 (L´ evy). Soit X = (X 1 , . . . , X d ) un processus adapt´ e `
a trajectoires
continues. Il y a ´
equivalence entre
(i) X est un (F t )-mouvement brownien en dimension d.
(ii) Les processus X 1 , . . . , X d sont des martingales locales et
X i , X j
t
= δ i j t
pour tous i, j ∈ {1, . . . , d} (ici δ i j est le symbole de Kronecker, δ i j = 1 {i= j} ).
En particulier, une martingale locale M est un (F t )-mouvement brownien si et
seulement si
M, M
t
= t, pour tout t ≥ 0.
D´ emonstration. L’implication (i)⇒ (ii) a d´ ej` a ´
et´ e discut´ ee `
a la fin du paragraphe
pr´ ec´ edent. Montrons la r´ eciproque. On suppose donc que la propri´ et´ e (ii) est
v´ erifi´ ee. Soit ξ ∈ R d . Alors, ξ · X t = ∑
d
j=1 ξ j X
j
t est une martingale locale de processus croissant
d
∑
j=1
d
∑
k=1
ξ j ξ k
X
j , X
k
t
= |ξ |
2 t.
D’apr` es la Proposition 5.6, exp(iξ · X t +
1
2 |ξ | 2 t) est une martingale locale. Cette
martingale locale ´
etant born´ ee sur les intervalles [0, T ], T > 0, est une vraie martingale (on d´ efinit de mani` ere ´
evidente la notion de martingale `
a valeurs complexes).
Donc, pour s < t,
E[exp(iξ · X t +
1
2
|ξ |
2 t) | F s ] = exp(iξ · X s +
1
2
|ξ |
2 s).
Il en d´ ecoule que, pour A ∈ F s ,
E[1 A exp(iξ · (X t − X s ))] = P[A] exp(−
1
2
|ξ |
2 (t − s)).
En prenant A = Ω , on voit que X t − X s est un vecteur gaussien centr´ e de covariance
(t − s)Id. De plus, fixons A ∈ F s avec P[A] > 0, et notons P A la probabilit´ e P A [·] =
P[A] −1 P[· ∩ A]. On voit que