5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆ o
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P A [exp(iξ · (X t − X s ))] = exp(−
1
2
|ξ |
2 (t − s))
ce qui veut dire que la loi de X t − X s sous P A est aussi celle du vecteur gaussien de
covariance (t − s)Id. Donc, pour toute fonction mesurable positive f sur R d , on a
E A [ f (X t − X s )] = E[ f (X t − X s )],
soit encore
E[1 A f (X t − X s )] = P[A] E[ f (X t − X s )].
Comme cela est vrai pour tout A ∈ F s , X t − X s est ind´ ependant de F s .
Finalement, si t 0 = 0 < t 1 < . . . < t p , le vecteur (X i
t j
− X i
t j−1
; 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ p)
est un vecteur gaussien car obtenu en regroupant p vecteurs gaussiens ind´ ependants.
De plus, ses composantes sont orthogonales donc ind´ ependantes (Proposition 1.2).
Cela montre que les lois marginales de X − X 0 , sont celles du mouvement brownien en dimension d (issu de 0). Comme de plus nous avons vu que X t − X s est
ind´ ependant de F s , pour tous 0 ≤ s < t, cela suffit pour dire que X est un (F t )mouvement brownien.
p.s. ∀t ≥ 0,
M t = β t .
Remarques. (i) On peut s’affranchir de l’hypoth` ese
M, M
∞
= ∞, mais il faut alors
´
eventuellement “grossir” l’espace de probabilit´ e : voir [9, Chapter V].
(ii) Le mouvement brownien β n’est pas adapt´ e par rapport `
a la filtration (F t ),
mais par rapport `
a une filtration “chang´ ee de temps”, comme le montrera la preuve
ci-dessous.
D´ emonstration. Pour tout r ≥ 0, on d´ efinit
τ r = inf{t ≥ 0 :
M, M
t
≥ r}.
Remarquons que τ r est un temps d’arrˆ et comme temps d’entr´ ee dans un ferm´ e par
un processus adapt´ e `
a trajectoires continues (Proposition 3.4). De plus, l’hypoth` ese
assure que τ r < ∞ pour tout r ≥ 0, p.s. Pour la suite, il sera commode de convenir que
τ r = 0 pour tout r ≥ 0 sur l’ensemble n´ egligeable N = {{M, M ∞ < ∞}. Comme la
filtration est compl` ete, τ r reste un temps d’arrˆ et apr` es cette modification.
La fonction r → τ r est croissante et continue `
a gauche, et admet donc une limite
`
a droite en tout r ≥ 0. On voit facilement que cette limite `
a droite vaut
τ r+ = inf{t ≥ 0 :
M, M
t
> r},
avec la mˆ eme convention τ r+ = 0 pour tout r ≥ 0 sur le n´ egligeable N .
On pose β r = M τ r pour tout r ≥ 0. D’apr` es le Th´ eor` eme 3.1, le processus β
est adapt´ e par rapport `
a la filtration (G r ) d´ efinie par G r = F τ r pour tout r ≥ 0, et
Théorème 5.5 (Dubins-Schwarz). Soit M une martingale locale issue de 0 et telle
que
M, M
∞
=∞ p.s. Il existe alors un mouvement brownien réel β tel que
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P A [exp(iξ · (X t − X s ))] = exp(−
1
2
|ξ |
2 (t − s))
ce qui veut dire que la loi de X t − X s sous P A est aussi celle du vecteur gaussien de
covariance (t − s)Id. Donc, pour toute fonction mesurable positive f sur R d , on a
E A [ f (X t − X s )] = E[ f (X t − X s )],
soit encore
E[1 A f (X t − X s )] = P[A] E[ f (X t − X s )].
Comme cela est vrai pour tout A ∈ F s , X t − X s est ind´ ependant de F s .
Finalement, si t 0 = 0 < t 1 < . . . < t p , le vecteur (X i
t j
− X i
t j−1
; 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ p)
est un vecteur gaussien car obtenu en regroupant p vecteurs gaussiens ind´ ependants.
De plus, ses composantes sont orthogonales donc ind´ ependantes (Proposition 1.2).
Cela montre que les lois marginales de X − X 0 , sont celles du mouvement brownien en dimension d (issu de 0). Comme de plus nous avons vu que X t − X s est
ind´ ependant de F s , pour tous 0 ≤ s < t, cela suffit pour dire que X est un (F t )mouvement brownien.
p.s. ∀t ≥ 0,
M t = β
Remarques. (i) On peut s’affranchir de l’hypoth` ese
M, M
∞
= ∞, mais il faut alors
´
eventuellement “grossir” l’espace de probabilit´ e : voir [9, Chapter V].
(ii) Le mouvement brownien β n’est pas adapt´ e par rapport `
a la filtration (F t ),
mais par rapport `
a une filtration “chang´ ee de temps”, comme le montrera la preuve
ci-dessous.
D´ emonstration. Pour tout r ≥ 0, on d´ efinit
τ r = inf{t ≥ 0 :
M, M
t
≥ r}.
Remarquons que τ r est un temps d’arrˆ et comme temps d’entr´ ee dans un ferm´ e par
un processus adapt´ e `
a trajectoires continues (Proposition 3.4). De plus, l’hypoth` ese
assure que τ r < ∞ pour tout r ≥ 0, p.s. Pour la suite, il sera commode de convenir que
τ r = 0 pour tout r ≥ 0 sur l’ensemble n´ egligeable N = {{M, M ∞ < ∞}. Comme la
filtration est compl` ete, τ r reste un temps d’arrˆ et apr` es cette modification.
La fonction r → τ r est croissante et continue `
a gauche, et admet donc une limite
`
a droite en tout r ≥ 0. On voit facilement que cette limite `
a droite vaut
τ r+ = inf{t ≥ 0 :
M, M
t
> r},
avec la mˆ eme convention τ r+ = 0 pour tout r ≥ 0 sur le n´ egligeable N .
On pose β r = M τ r pour tout r ≥ 0. D’apr` es le Th´ eor` eme 3.1, le processus β
est adapt´ e par rapport `
a la filtration (G r ) d´ efinie par G r = F τ r pour tout r ≥ 0, et
Théorème 5.5 (Dubins-Schwarz). Soit M une martingale locale issue de 0 et telle
que
M, M
∞
=∞ p.s. Il existe alors un mouvement brownien réel β tel que