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5 Int´ egrale stochastique
G ∞ = F ∞ . Remarquons que la filtration (G r ) est compl` ete puisque la filtration (F t )
l’est.
Les trajectoires r → β r (ω) sont continues `
a gauche (puisque r → τ r (ω) l’est) et
admettent en tout r ≥ 0 une limite `
a droite donn´ ee par
lim
s↓↓r
β s = M τ r+ .
En fait cette limite `
a droite co¨ ıncide avec M τ r = β r , `
a cause du lemme suivant.
Lemme 5.1. Les intervalles de constance de M et
M, M
sont p.s. les mˆ emes. En
d’autres termes, on a p.s. pour tous 0 ≤ a < b,
M t = M a , ∀t ∈ [a, b] ⇐⇒
M, M
b
=
M, M
a
.
D´ emonstration. En utilisant la continuit´ e des trajectoires de M et
M, M
, on se
ram` ene `
a v´ erifier que pour a et b fix´ es tels que 0 ≤ a < b, on a
{M t = M a , ∀t ∈ [a, b]} = {
M, M
b
=
M, M
a
} , p.s.
L’inclusion ⊂ est facilement ´
etablie en utilisant les approximations de
M, M
fournies dans le Th´ eor` eme 4.2.
Montrons l’autre inclusion. Consid´ erons la martingale locale
N t = M t∧b − M t∧a =
t
0
1 [a,b] (s) dM s ,
qui v´ erifie
N, N t =
M, M
t∧b
−
M, M
t∧a
.
Pour tout ε > 0, introduisons le temps d’arrˆ et
T ε = inf{t ≥ 0 : N, N t ≥ ε} = inf{t ≥ a :
M, M
t
≥
M, M
a
+ ε}.
Alors N T ε est une martingale born´ ee dans L 2 (puisque N T ε , N T ε ∞ ≤ ε, et on utilise
le Th´ eor` eme 4.3). Fixons t ∈ [a, b]. On a
E[N
2
t∧T ε ] = E[N, N t∧T ε ] ≤ ε.
Donc si on introduit l’´ ev´ enement A = {
M, M
b
=
M, M
a
} ⊂ {T ε ≥ b},
E[1 A N
2
t ] = E[1 A N
2
t∧T ε ] ≤ E[N
2
t∧T ε ] ≤ ε.
En faisant tendre ε vers 0 on trouve E[1 A N 2
t ] = 0 et donc N t = 0 p.s. sur A, ce qui
ach` eve la preuve.
Revenons `
a la preuve du Th´ eor` eme 5.5. Puisque
M, M
τ r
= r =
M, M
τ r+
, le
Lemme 5.1 entraˆ ıne que M τ r = M τ r+ , pour tout r ≥ 0, p.s. Les trajectoires de β sont