5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆ o
99
donc continues (sur l’ensemble de probabilit´ e nulle qui pourrait ˆ
etre gˆ enant il suffit
de poser β r = 0 pour tout r ≥ 0).
Nous v´ erifions ensuite que β s et β 2
s − s sont des martingales relativement `
a la
filtration (G s ). Pour tout n ≥ 1, les martingales locales arrˆ et´ ees M τ n et (M τ n ) 2 −
M, M
τ n sont des vraies martingales uniform´ ement int´ egrables (d’apr` es le Th´ eor` eme 4.3, en observant que
M τ n , M τ n
∞
=
M, M
τ n
= n). Le th´ eor` eme d’arrˆ et
(Th´ eor` eme 3.6) entraˆ ıne alors que pour r ≤ s ≤ n,
E[β s | G r ] = E[M
τ n
τ s | F τ r ] = M
τ n
τ r = β r
et
E[β
2
s − s | G r ] = E[(M
τ n
τ s )
2 −
M
τ n , M
τ n
τ s
| F τ r ] = (M
τ n
τ r )
2 −
M
τ n , M
τ n
τ r
= β
2
r − r.
Ensuite, le cas d = 1 du Th´ eor` eme 5.4 montre que β est un (G r )-mouvement brownien. Finalement, par d´ efinition de β , on a p.s. pour tout t ≥ 0,
β t = M τ t .
Mais, puisque τ t ≤ t ≤ τ t + et que la valeur de M, M est la mˆ eme en
τ t et en τ t + , le Lemme 5.1 montre que M t = M τ t pour tout t ≥ 0,
p.s. On conclut que p.s. pour tout t ≥ 0 on a M t = β t .
Nous ´
enonc ¸ons maintenant des in´ egalit´ es importantes reliant une martingale et
sa variation quadratique. Si M est une martingale locale, on note M ∗
t = sup s≤t |M s |.
Th´ eor` eme 5.6 (In´ egalit´ es de Burkholder-Davis-Gundy). Pour tout r´ eel p > 0, il
existe des constantes c p , C p > 0 telles que, pour toute martingale locale M issue de
0,
c p E[
M, M
p/2
∞
] ≤ E[(M
∗
∞ )
p ] ≤ C p E[
M, M
p/2
∞
].
Remarque. Si T est un temps d’arrˆ et quelconque, en remplac ¸ant M par la martingale
locale arrˆ et´ ee M T , on obtient les mˆ emes in´ egalit´ es avec T `
a la place de ∞.
D´ emonstration. Observons d’abord que l’on peut se restreindre au cas o` u M est
born´ ee, quitte `
a remplacer M par M T n , si T n = inf{t ≥ 0 : |M t | = n}, et `
a faire ensuite
tendre n vers ∞. L’in´ egalit´ e de gauche dans le cas p ≥ 4 a ´
et´ e obtenue dans l’Exercice
4.5. Nous d´ emontrons ci-dessous l’in´ egalit´ e de droite dans le cas p ≥ 2 (c’est ce cas
particulier que nous utiliserons dans le Chapitre 6), et nous omettons les autres cas
(voir par exemple [9, Chapter IV]).
Soit donc p ≥ 2. On applique la formule d’Itˆ o `
a la fonction |x| p :
|M t |
p =
t
0
p|M s |
p−1 sgn(M s ) dM s +
1
2
t
0
p(p − 1)|M s |
p−2 d
M, M
s
.
Puisque M est born´ ee, donc en particulier M ∈ H 2 , le processus
t
0
p|M s |
p−1 sgn(M s ) dM s
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donc continues (sur l’ensemble de probabilit´ e nulle qui pourrait ˆ
etre gˆ enant il suffit
de poser β r = 0 pour tout r ≥ 0).
Nous v´ erifions ensuite que β s et β 2
s − s sont des martingales relativement `
a la
filtration (G s ). Pour tout n ≥ 1, les martingales locales arrˆ et´ ees M τ n et (M τ n ) 2 −
M, M
τ n sont des vraies martingales uniform´ ement int´ egrables (d’apr` es le Th´ eor` eme 4.3, en observant que
M τ n , M τ n
∞
=
M, M
τ n
= n). Le th´ eor` eme d’arrˆ et
(Th´ eor` eme 3.6) entraˆ ıne alors que pour r ≤ s ≤ n,
E[β s | G r ] = E[M
τ n
τ s | F τ r ] = M
τ n
τ r = β r
et
E[β
2
s − s | G r ] = E[(M
τ n
τ s )
2 −
M
τ n , M
τ n
τ s
| F τ r ] = (M
τ n
τ r )
2 −
M
τ n , M
τ n
τ r
= β
2
r − r.
Ensuite, le cas d = 1 du Th´ eor` eme 5.4 montre que β est un (G r )-mouvement brownien. Finalement, par d´ efinition de β , on a p.s. pour tout t ≥ 0,
β
Mais, puisque τ
τ
p.s. On conclut que p.s. pour tout t ≥ 0 on a M t = β
Nous ´
enonc ¸ons maintenant des in´ egalit´ es importantes reliant une martingale et
sa variation quadratique. Si M est une martingale locale, on note M ∗
t = sup s≤t |M s |.
Th´ eor` eme 5.6 (In´ egalit´ es de Burkholder-Davis-Gundy). Pour tout r´ eel p > 0, il
existe des constantes c p , C p > 0 telles que, pour toute martingale locale M issue de
0,
c p E[
M, M
p/2
∞
] ≤ E[(M
∗
∞ )
p ] ≤ C p E[
M, M
p/2
∞
].
Remarque. Si T est un temps d’arrˆ et quelconque, en remplac ¸ant M par la martingale
locale arrˆ et´ ee M T , on obtient les mˆ emes in´ egalit´ es avec T `
a la place de ∞.
D´ emonstration. Observons d’abord que l’on peut se restreindre au cas o` u M est
born´ ee, quitte `
a remplacer M par M T n , si T n = inf{t ≥ 0 : |M t | = n}, et `
a faire ensuite
tendre n vers ∞. L’in´ egalit´ e de gauche dans le cas p ≥ 4 a ´
et´ e obtenue dans l’Exercice
4.5. Nous d´ emontrons ci-dessous l’in´ egalit´ e de droite dans le cas p ≥ 2 (c’est ce cas
particulier que nous utiliserons dans le Chapitre 6), et nous omettons les autres cas
(voir par exemple [9, Chapter IV]).
Soit donc p ≥ 2. On applique la formule d’Itˆ o `
a la fonction |x| p :
|M t |
p =
t
0
p|M s |
p−1 sgn(M s ) dM s +
1
2
t
0
p(p − 1)|M s |
p−2 d
M, M
s
.
Puisque M est born´ ee, donc en particulier M ∈ H 2 , le processus
t
0
p|M s |
p−1 sgn(M s ) dM s