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5 Int´ egrale stochastique
est une vraie martingale dans H 2 . On trouve alors
E[|M t |
p ] =
p(p − 1)
2
E
t
0
|M s |
p−2 d
M, M
s
≤
p(p − 1)
2
E[(M
∗
t )
p−2
M, M
t
]
≤
p(p − 1)
2
E[(M
∗
t )
p ]
(p−2)/p E[
M, M
p/2
t
]
2/p ,
d’apr` es l’in´ egalit´ e de H¨ older. D’autre part, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Doob dans L p ,
E[(M
∗
t )
p ] ≤
p
p − 1
p
E[|M t |
p ]
et en combinant cette ´
egalit´ e avec la pr´ ec´ edente, on arrive `
a
E[(M
∗
t )
p ] ≤
p
p − 1
p p(p − 1)
2
p/2
E[
M, M
p/2
t
].
Il ne reste plus qu’` a faire tendre t vers ∞.
Corollaire 5.1. Soit M une martingale locale telle que M 0 = 0. La condition
E[
M, M
1/2
∞
] < ∞
entraˆ ıne que M est une vraie martingale uniform´ ement int´ egrable.
D´ emonstration. D’apr` es le cas p = 1 du Th´ eor` eme 5.6, la condition de l’´ enonc´ e
entraˆ ıne que E[M ∗
∞ ] < ∞. La Proposition 4.3 (ii) montre alors que la martingale
locale M, qui est domin´ ee par la variable M ∗
∞ , est une vraie martingale uniform´ ement
int´ egrable.
La condition E[
M, M
1/2
∞
] < ∞ est plus faible que la condition E[
M, M
∞
] < ∞,
qui assure que M ∈ H 2 . On peut appliquer le corollaire aux martingales locales
obtenues comme int´ egrales stochastiques. Si M est une martingale locale et H un
processus progressif tel que, pour tout t ≥ 0,
E
t
0
H
2
s d
M, M
s
1/2
< ∞ ,
alors
t
0 H s dM s est une vraie martingale, et les formules (5.4) et (5.7) sont v´ erifi´ ees
(bien entendu avec t < ∞).
Représentation des martingales. Nous allons établir que, dans le cas où la filtration
sur Ω est engendrée par un mouvement brownien, toutes les martingales peuvent être
représentées comme intégrales stochastiques par rapport à ce mouvement brownien.
Pour simplifier la présentation, nous traitons d’abord le cas du mouvement brownien en dimension 1, mais nous discutons l’extension des résultats au mouvement
brownien en dimension d à la fin de ce paragraphe.