5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆ o
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Th´ eor` eme 5.7. Supposons que la filtration (F t ) sur Ω est la filtration canonique
d’un mouvement brownien r´ eel B issu de 0, compl´ et´ ee par les n´ egligeables de
σ (B t ,t ≥ 0). Alors, pour toute variable al´ eatoire Z ∈ L 2 (Ω , F ∞ , P), il existe un
(unique) processus h ∈ L 2 (B) tel que
Z = E[Z] +
∞
0
h s dB s .
En cons´ equence, pour toute martingale M born´ ee dans L 2 (respectivement pour
toute martingale locale M), il existe un (unique) processus h ∈ L 2 (B) (resp. h ∈
L 2
loc (B)) et une constante C ∈ R tels que
M t = C +
t
0
h s dB s .
Remarque. La deuxi` eme partie de l’´ enonc´ e s’applique `
a une martingale M born´ ee
dans L 2 , sans hypoth` ese de continuit´ e sur les trajectoires de M, comme le montrera
la preuve ci-dessous. Cette observation sera importante quand nous ´
etablirons des
cons´ equences du th´ eor` eme de repr´ esentation.
Lemme 5.2. Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme pr´ ec´ edent, l’espace vectoriel complexe engendr´ e par les variables al´ eatoires
exp
i
n
∑
j=1
λ j (B t j − B t j−1 )
pour 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n et λ 1 , . . . , λ n ∈ R, est dense dans L 2
C (Ω , F ∞ , P), l’espace
des variables al´ eatoires F ∞ -mesurables `
a valeurs complexes et de carr´ e int´ egrable.
D´ emonstration. Il suffit de montrer que, si Z ∈ L 2
C (Ω , F ∞ , P) v´ erifie
E
Z exp
i
n
∑
j=1
λ j (B t j − B t j−1 )
= 0
(5.17)
pour tout choix de 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n et λ 1 , . . . , λ n ∈ R, alors Z = 0.
Fixons 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n et introduisons la mesure complexe µ sur R n d´ efinie
par
µ(F) = E
Z 1 F (B t 1 , B t 2 − B t 1 , . . . , B t n − B t n−1 )
pour tout bor´ elien F de R n . La propri´ et´ e (5.17) montre exactement que la transform´ ee de Fourier de µ est nulle. Par un r´ esultat classique d’injectivit´ e de la transform´ ee de Fourier, il en d´ ecoule que µ = 0. On a ainsi obtenu l’´ egalit´ e E[Z 1 A ] = 0
pour tout A ∈ σ (B t 1 , . . . , B t n ).
Un argument de classe monotone montre maintenant que l’´ egalit´ e E[Z 1 A ] = 0
reste vraie pour tout A ∈ σ (B t ,t ≥ 0) puis par compl´ etion pour tout A ∈ F ∞ . On
conclut alors que Z = 0.
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Th´ eor` eme 5.7. Supposons que la filtration (F t ) sur Ω est la filtration canonique
d’un mouvement brownien r´ eel B issu de 0, compl´ et´ ee par les n´ egligeables de
σ (B t ,t ≥ 0). Alors, pour toute variable al´ eatoire Z ∈ L 2 (Ω , F ∞ , P), il existe un
(unique) processus h ∈ L 2 (B) tel que
Z = E[Z] +
∞
0
h s dB s .
En cons´ equence, pour toute martingale M born´ ee dans L 2 (respectivement pour
toute martingale locale M), il existe un (unique) processus h ∈ L 2 (B) (resp. h ∈
L 2
loc (B)) et une constante C ∈ R tels que
M t = C +
t
0
h s dB s .
Remarque. La deuxi` eme partie de l’´ enonc´ e s’applique `
a une martingale M born´ ee
dans L 2 , sans hypoth` ese de continuit´ e sur les trajectoires de M, comme le montrera
la preuve ci-dessous. Cette observation sera importante quand nous ´
etablirons des
cons´ equences du th´ eor` eme de repr´ esentation.
Lemme 5.2. Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme pr´ ec´ edent, l’espace vectoriel complexe engendr´ e par les variables al´ eatoires
exp
i
n
∑
j=1
λ j (B t j − B t j−1 )
pour 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n et λ 1 , . . . , λ n ∈ R, est dense dans L 2
C (Ω , F ∞ , P), l’espace
des variables al´ eatoires F ∞ -mesurables `
a valeurs complexes et de carr´ e int´ egrable.
D´ emonstration. Il suffit de montrer que, si Z ∈ L 2
C (Ω , F ∞ , P) v´ erifie
E
Z exp
i
n
∑
j=1
λ j (B t j − B t j−1 )
= 0
(5.17)
pour tout choix de 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n et λ 1 , . . . , λ n ∈ R, alors Z = 0.
Fixons 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n et introduisons la mesure complexe µ sur R n d´ efinie
par
µ(F) = E
Z 1 F (B t 1 , B t 2 − B t 1 , . . . , B t n − B t n−1 )
pour tout bor´ elien F de R n . La propri´ et´ e (5.17) montre exactement que la transform´ ee de Fourier de µ est nulle. Par un r´ esultat classique d’injectivit´ e de la transform´ ee de Fourier, il en d´ ecoule que µ = 0. On a ainsi obtenu l’´ egalit´ e E[Z 1 A ] = 0
pour tout A ∈ σ (B t 1 , . . . , B t n ).
Un argument de classe monotone montre maintenant que l’´ egalit´ e E[Z 1 A ] = 0
reste vraie pour tout A ∈ σ (B t ,t ≥ 0) puis par compl´ etion pour tout A ∈ F ∞ . On
conclut alors que Z = 0.