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5 Int´ egrale stochastique
D´ emonstration du Th´ eor` eme 5.7. On montre d’abord la premi` ere assertion. Pour
cela, on note H l’espace vectoriel des variables al´ eatoires Z ∈ L 2 (Ω , F ∞ , P) qui
ont la propri´ et´ e de l’´ enonc´ e. Remarquons que l’unicit´ e de h est facile puisque si h
et h correspondent `
a la mˆ eme variable Z, on a
E
∞
0
(h s − h
s )
2 ds
= E
∞
0
h s dB s −
∞
0
h
s dB s
2
= 0,
d’o` u h = h dans L 2 (B). Si Z ∈ H correspond `
a h, on a
E[Z
2 ] = E[Z]
2 + E
∞
0
(h s )
2 ds
.
Il en d´ ecoule facilement que si (Z n ) est une suite dans H qui converge dans
L 2 (Ω , F ∞ , P) vers Z, les processus h (n) associ´ es respectivement aux Z n forment une
suite de Cauchy dans L 2 (B) donc convergent vers h ∈ L 2 (B). D’apr` es les propri´ et´ es
de l’int´ egrale stochastique, on a aussitˆ ot Z = E[Z] +
∞
0 h s dB s . Donc H est ferm´ e.
Ensuite, si 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n et λ 1 , . . . , λ n ∈ R, soit f (s) = ∑
n
j=1 λ j 1 ]t j−1 ,t j ] (s),
et soit E
f
t la martingale exponentielle E (i
·
0 f (s) dB s ) (cf. Proposition 5.6). La
Proposition 5.6 montre que
exp
i
n
∑
j=1
λ j (B t j − B t j−1 ) +
1
2
n
∑
j=1
λ
2
j (t j − t j−1 )
= E
f
∞ = 1 + i
∞
0
E
f
s f (s) dB s
et il en d´ ecoule que les variables qui s’´ ecrivent comme partie r´ eelle ou partie imaginaire de variables de la forme exp
i ∑
n
j=1 λ j (B t j − B t j−1 )
sont dans H . D’apr` es
le Lemme 5.2, les combinaisons lin´ eaires de variables de ce type sont denses dans
L 2 (Ω , F ∞ , P). On conclut que H = L 2 (Ω , F ∞ , P), ce qui termine la preuve de la
premi` ere assertion.
Ensuite, si M est une martingale born´ ee dans L 2 , alors M ∞ ∈ L 2 (Ω , F ∞ , P), et
donc s’´ ecrit sous la forme
M ∞ = E[M ∞ ] +
∞
0
h s dB s ,
avec h ∈ L 2 (B). Grˆ ace `
a (5.7), il en d´ ecoule aussitˆ ot que
M t = E[M ∞ | F t ] = E[M ∞ ] +
t
0
h s dB s
et l’unicit´ e de h s’obtient comme ci-dessus.
Enfin, si M est une martingale locale, on a d’abord M 0 = C ∈ R parce que F 0 est
grossi` ere. Si T n = inf{t ≥ 0 : |M t | ≥ n} on peut appliquer ce qui pr´ ec` ede `
a M T n et
trouver un processus h (n) ∈ L 2 (B) tel que
M
T n
t = C +
t
0
h
(n)
s dB s .
5 Int´ egrale stochastique
D´ emonstration du Th´ eor` eme 5.7. On montre d’abord la premi` ere assertion. Pour
cela, on note H l’espace vectoriel des variables al´ eatoires Z ∈ L 2 (Ω , F ∞ , P) qui
ont la propri´ et´ e de l’´ enonc´ e. Remarquons que l’unicit´ e de h est facile puisque si h
et h correspondent `
a la mˆ eme variable Z, on a
E
∞
0
(h s − h
s )
2 ds
= E
∞
0
h s dB s −
∞
0
h
s dB s
2
= 0,
d’o` u h = h dans L 2 (B). Si Z ∈ H correspond `
a h, on a
E[Z
2 ] = E[Z]
2 + E
∞
0
(h s )
2 ds
.
Il en d´ ecoule facilement que si (Z n ) est une suite dans H qui converge dans
L 2 (Ω , F ∞ , P) vers Z, les processus h (n) associ´ es respectivement aux Z n forment une
suite de Cauchy dans L 2 (B) donc convergent vers h ∈ L 2 (B). D’apr` es les propri´ et´ es
de l’int´ egrale stochastique, on a aussitˆ ot Z = E[Z] +
∞
0 h s dB s . Donc H est ferm´ e.
Ensuite, si 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n et λ 1 , . . . , λ n ∈ R, soit f (s) = ∑
n
j=1 λ j 1 ]t j−1 ,t j ] (s),
et soit E
f
t la martingale exponentielle E (i
·
0 f (s) dB s ) (cf. Proposition 5.6). La
Proposition 5.6 montre que
exp
i
n
∑
j=1
λ j (B t j − B t j−1 ) +
1
2
n
∑
j=1
λ
2
j (t j − t j−1 )
= E
f
∞ = 1 + i
∞
0
E
f
s f (s) dB s
et il en d´ ecoule que les variables qui s’´ ecrivent comme partie r´ eelle ou partie imaginaire de variables de la forme exp
i ∑
n
j=1 λ j (B t j − B t j−1 )
sont dans H . D’apr` es
le Lemme 5.2, les combinaisons lin´ eaires de variables de ce type sont denses dans
L 2 (Ω , F ∞ , P). On conclut que H = L 2 (Ω , F ∞ , P), ce qui termine la preuve de la
premi` ere assertion.
Ensuite, si M est une martingale born´ ee dans L 2 , alors M ∞ ∈ L 2 (Ω , F ∞ , P), et
donc s’´ ecrit sous la forme
M ∞ = E[M ∞ ] +
∞
0
h s dB s ,
avec h ∈ L 2 (B). Grˆ ace `
a (5.7), il en d´ ecoule aussitˆ ot que
M t = E[M ∞ | F t ] = E[M ∞ ] +
t
0
h s dB s
et l’unicit´ e de h s’obtient comme ci-dessus.
Enfin, si M est une martingale locale, on a d’abord M 0 = C ∈ R parce que F 0 est
grossi` ere. Si T n = inf{t ≥ 0 : |M t | ≥ n} on peut appliquer ce qui pr´ ec` ede `
a M T n et
trouver un processus h (n) ∈ L 2 (B) tel que
M
T n
t = C +
t
0
h
(n)
s dB s .