5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆ o
103
Puisque le processus progressif intervenant dans la repr´ esentation est unique, on
obtient que h
(m)
s = 1 [0,T m ] (s) h
(n)
s si m < n, ds p.p., p.s. Il est alors facile de construire
un processus h ∈ L 2
loc (B) tel que, pour tout m, h
(m)
s
= 1 [0,T m ] (s) h s , ds p.p., p.s. La
formule de l’´ enonc´ e en d´ ecoule ais´ ement et l’unicit´ e de h est aussi facile `
a partir de
l’unicit´ e de h (n) pour tout n.
Cons´ equences. Donnons deux cons´ equences importantes du th´ eor` eme de repr´ esentation. Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme :
(1) La filtration (F t ) t≥0 est continue `
a droite. En effet, soit Z une variable F t+ -
mesurable born´ ee. On peut trouver h ∈ L 2 (B) tel que
Z = E[Z] +
∞
0
h s dB s .
Mais si ε > 0, Z est F t+ε -mesurable, et donc, en utilisant (5.7),
Z = E[Z | F t+ε ] = E[Z] +
t+ε
0
h s dB s
et, par unicit´ e de la repr´ esentation, on a
h s = 0 , ds dP p.p. sur ]t + ε, ∞[.
Comme cela est vrai pour tout ε > 0, on a
h s = 0 , ds dP p.p. sur ]t, ∞[,
et finalement
Z = E[Z] +
t
0
h s dB s
est F t -mesurable, d’o` u le r´ esultat voulu.
Un argument analogue montre que la filtration (F t ) t≥0 est aussi continue `
a
gauche au sens o` u, pour tout t > 0, la tribu
F t− =
s∈[0,t[
F s
co¨ ıncide avec F t .
(2) Toutes les martingales de la filtration (F t ) t≥0 ont une modification continue.
Pour une martingale born´ ee dans L 2 , cela d´ ecoule directement de la formule de
repr´ esentation (voir la remarque apr` es le th´ eor` eme). Il suffit ensuite de traiter le cas
d’une martingale M uniform´ ement int´ egrable (si M n’est pas u.i., remplacer M par
M t∧a pour tout a ≥ 0). Dans ce cas, on a pour tout t ≥ 0,
M t = E[M ∞ | F t ].
D’apr` es le Th´ eor` eme 3.4 (qu’on peut appliquer car la filtration est continue `
a
droite!), le processus M t a une modification c` adl` ag, que nous consid´ erons `
a par-
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Puisque le processus progressif intervenant dans la repr´ esentation est unique, on
obtient que h
(m)
s = 1 [0,T m ] (s) h
(n)
s si m < n, ds p.p., p.s. Il est alors facile de construire
un processus h ∈ L 2
loc (B) tel que, pour tout m, h
(m)
s
= 1 [0,T m ] (s) h s , ds p.p., p.s. La
formule de l’´ enonc´ e en d´ ecoule ais´ ement et l’unicit´ e de h est aussi facile `
a partir de
l’unicit´ e de h (n) pour tout n.
Cons´ equences. Donnons deux cons´ equences importantes du th´ eor` eme de repr´ esentation. Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme :
(1) La filtration (F t ) t≥0 est continue `
a droite. En effet, soit Z une variable F t+ -
mesurable born´ ee. On peut trouver h ∈ L 2 (B) tel que
Z = E[Z] +
∞
0
h s dB s .
Mais si ε > 0, Z est F t+ε -mesurable, et donc, en utilisant (5.7),
Z = E[Z | F t+ε ] = E[Z] +
t+ε
0
h s dB s
et, par unicit´ e de la repr´ esentation, on a
h s = 0 , ds dP p.p. sur ]t + ε, ∞[.
Comme cela est vrai pour tout ε > 0, on a
h s = 0 , ds dP p.p. sur ]t, ∞[,
et finalement
Z = E[Z] +
t
0
h s dB s
est F t -mesurable, d’o` u le r´ esultat voulu.
Un argument analogue montre que la filtration (F t ) t≥0 est aussi continue `
a
gauche au sens o` u, pour tout t > 0, la tribu
F t− =
s∈[0,t[
F s
co¨ ıncide avec F t .
(2) Toutes les martingales de la filtration (F t ) t≥0 ont une modification continue.
Pour une martingale born´ ee dans L 2 , cela d´ ecoule directement de la formule de
repr´ esentation (voir la remarque apr` es le th´ eor` eme). Il suffit ensuite de traiter le cas
d’une martingale M uniform´ ement int´ egrable (si M n’est pas u.i., remplacer M par
M t∧a pour tout a ≥ 0). Dans ce cas, on a pour tout t ≥ 0,
M t = E[M ∞ | F t ].
D’apr` es le Th´ eor` eme 3.4 (qu’on peut appliquer car la filtration est continue `
a
droite!), le processus M t a une modification c` adl` ag, que nous consid´ erons `
a par-