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5 Int´ egrale stochastique
tir de maintenant. On peut trouver une suite de variables al´ eatoires born´ ees M
(n)
∞
telles que M
(n)
∞ −→ M ∞ dans L 1 quand n → ∞. Introduisons alors les martingales
born´ ees dans L 2
M
(n)
t = E[M
(n)
∞ | F t ].
D’apr` es le d´ ebut de l’argument on peut supposer que les trajectoires de M (n) sont
continues. Par ailleurs l’in´ egalit´ e maximale (Proposition 3.8) entraˆ ıne que, pour tout
λ > 0,
P
sup
t≥0
|M
(n)
t − M t | > λ
≤
3
λ
E[|M
(n)
∞ − M ∞ |].
Il en d´ ecoule qu’on peut trouver une suite n k ↑ ∞ telle que, pour tout k ≥ 1,
P
sup
t≥0
|M
(n k )
t
− M t | > 2
−k
≤ 2
−k .
Une application du lemme de Borel-Cantelli montre maintenant que
sup
t≥0
|M
(n k )
t
− M t |
p.s.
−→
k→∞
0
et les trajectoires de M sont (p.s.) continues comme limites uniformes de fonctions
continues.
Extension multidimensionnelle. D´ ecrivons bri` evement l’extension multidimensionnelle des r´ esultats qui pr´ ec` edent. Nous supposons maintenant que que la filtration (F t ) sur Ω est la filtration canonique d’un mouvement brownien B =
(B 1 , . . . , B d ) en dimension d, issu de 0, augment´ ee par les n´ egligeables de la tribu
σ (B t ,t ≥ 0). Alors, pour toute variable al´ eatoire Z ∈ L 2 (Ω , F ∞ , P), il existe un
unique d-uplet (h 1 , . . . , h d ) de processus progressifs, avec
E
∞
0
(h
i
s )
2 ds
< ∞ ,
∀i ∈ {1, . . . , d},
tels que
Z = E[Z] +
d
∑
i=1
∞
0
h
i
s dB
i
s .
De mˆ eme, si M est une martingale locale, il existe une constante C et un unique
d-uplet (h 1 , . . . , h d ) de processus progressifs, avec
t
0
(h
i
s )
2 ds < ∞ , p.s.
∀t ≥ 0, ∀i ∈ {1, . . . , d},
tels que
M t = C +
d
∑
i=1
t
0
h
i
s dB
i
s .