5.4 Le th´ eor` eme de Girsanov
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Les preuves sont exactement les mˆ emes que pour le cas d = 1 (Th´ eor` eme 5.7). Les
cons´ equences (1) et (2) ci-dessus restent valables.
5.4 Le th´ eor` eme de Girsanov
Dans cette partie, nous supposons que la filtration (F t ) est `
a la fois compl` ete et
continue `
a droite. Notre objectif est d’´ etudier comment se transforment les notions
de semimartingales et de martingales lorsqu’on remplace la probabilit´ e P par une
probabilit´ e Q absolument continue par rapport `
a P. Lorsqu’il y aura risque de confusion, nous noterons E P pour l’esp´ erance sous la probabilit´ e P, et E Q pour l’esp´ erance
sous la probabilit´ e Q.
Proposition 5.7. Supposons que Q P sur F ∞ . Pour tout t ∈ [0, ∞], soit
D t =
dQ
dP |F t
la d´ eriv´ ee de Radon-Nikodym de Q par rapport `
a P sur la tribu F t . Le processus D
est une F t -martingale uniform´ ement int´ egrable. On peut donc remplacer D par une
modification c` adl` ag (cf. Th´ eor` eme 3.4). Apr` es ce remplacement, on a aussi pour
tout temps d’arrˆ et T ,
D T =
dQ
dP |F T
.
Enfin, si on suppose que Q est ´
equivalente `
a P sur F ∞ , on a
inf
t≥0
D t > 0 , p.s.
D´ emonstration. Pour A ∈ F t , on a
Q(A) = E Q [1 A ] = E P [1 A D ∞ ] = E P [1 A E P [D ∞ | F t ]]
et par unicit´ e de la d´ eriv´ ee de Radon-Nikodym sur F t , il en d´ ecoule que
D t = E P [D ∞ | F t ],
p.s.
Donc D est une martingale uniform´ ement int´ egrable (ferm´ ee par D ∞ ), et quitte `
a
remplacer D par une modification on peut supposer que ses trajectoires sont c` adl` ag
(Th´ eor` eme 3.4, nous utilisons ici le fait que la filtration est compl` ete et continue `
a
droite).
Ensuite, si T est un temps d’arrˆ et, on a pour A ∈ F T , d’apr` es le th´ eor` eme d’arrˆ et
(Th´ eor` eme 3.6),
Q(A) = E Q [1 A ] = E P [1 A D ∞ ] = E P [1 A D T ],
d’o` u, puisque D T est F T -mesurable,
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Les preuves sont exactement les mˆ emes que pour le cas d = 1 (Th´ eor` eme 5.7). Les
cons´ equences (1) et (2) ci-dessus restent valables.
5.4 Le th´ eor` eme de Girsanov
Dans cette partie, nous supposons que la filtration (F t ) est `
a la fois compl` ete et
continue `
a droite. Notre objectif est d’´ etudier comment se transforment les notions
de semimartingales et de martingales lorsqu’on remplace la probabilit´ e P par une
probabilit´ e Q absolument continue par rapport `
a P. Lorsqu’il y aura risque de confusion, nous noterons E P pour l’esp´ erance sous la probabilit´ e P, et E Q pour l’esp´ erance
sous la probabilit´ e Q.
Proposition 5.7. Supposons que Q P sur F ∞ . Pour tout t ∈ [0, ∞], soit
D t =
dQ
dP |F t
la d´ eriv´ ee de Radon-Nikodym de Q par rapport `
a P sur la tribu F t . Le processus D
est une F t -martingale uniform´ ement int´ egrable. On peut donc remplacer D par une
modification c` adl` ag (cf. Th´ eor` eme 3.4). Apr` es ce remplacement, on a aussi pour
tout temps d’arrˆ et T ,
D T =
dQ
dP |F T
.
Enfin, si on suppose que Q est ´
equivalente `
a P sur F ∞ , on a
inf
t≥0
D t > 0 , p.s.
D´ emonstration. Pour A ∈ F t , on a
Q(A) = E Q [1 A ] = E P [1 A D ∞ ] = E P [1 A E P [D ∞ | F t ]]
et par unicit´ e de la d´ eriv´ ee de Radon-Nikodym sur F t , il en d´ ecoule que
D t = E P [D ∞ | F t ],
p.s.
Donc D est une martingale uniform´ ement int´ egrable (ferm´ ee par D ∞ ), et quitte `
a
remplacer D par une modification on peut supposer que ses trajectoires sont c` adl` ag
(Th´ eor` eme 3.4, nous utilisons ici le fait que la filtration est compl` ete et continue `
a
droite).
Ensuite, si T est un temps d’arrˆ et, on a pour A ∈ F T , d’apr` es le th´ eor` eme d’arrˆ et
(Th´ eor` eme 3.6),
Q(A) = E Q [1 A ] = E P [1 A D ∞ ] = E P [1 A D T ],
d’o` u, puisque D T est F T -mesurable,