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5 Int´ egrale stochastique
D T =
dQ
dP |F T
.
Montrons la derni` ere assertion. Pour tout ε > 0, consid´ erons le temps d’arrˆ et
T ε = inf{t ≥ 0 : D t < ε}
(T ε est un temps d’arrˆ et comme temps d’entr´ ee dans un ouvert par un processus
c` adl` ag, voir la Proposition 3.4). Alors,
Q(T ε < ∞) = E P [1 {T ε <∞} D T ε ] ≤ ε
Q
∞
n=1
{T 1/n < ∞}
= 0
et puisque P est ´
equivalente `
a Q on a aussi
P
∞
n=1
{T 1/n < ∞}
= 0.
Mais cela veut exactement dire que p.s. il existe n tel que T 1/n = ∞, d’o` u la derni` ere
assertion de la proposition.
Proposition 5.8. Soit D une martingale locale strictement positive. Il existe alors
une unique martingale locale L telle que
D t = exp(L t −
1
2
L, L
t
) = E (L) t .
De plus L est donn´ ee par la formule
L t = log D 0 +
t
0
D
−1
s dD s .
D´ emonstration. L’unicit´ e est une cons´ equence imm´ ediate du Th´ eor` eme 4.1. Ensuite, puisque D est strictement positive, on peut appliquer la formule d’Itˆ o `
a log D t
(voir la remarque pr´ ec´ edant la Proposition 5.6), et il vient
log D t = log D 0 +
t
0
dD s
D s
−
1
2
t
0
d
D, D
s
D 2
s
= L t −
1
2
L, L
t
,
o` u L est donn´ ee par la formule de la proposition.
Nous ´
enonc ¸ons maintenant le th´ eor` eme principal de ce paragraphe, qui relie les
martingales locales sous la probabilit´ e P aux martingales locales sous la probabilit´ e
Q.
puisque D T ε ≤ ε sur {T ε <∞} par un argument de continuité à droite. Il en découle
aussitôt que