5.4 Le th´ eor` eme de Girsanov
107
Th´ eor` eme 5.8 (Girsanov). Soit Q une mesure de probabilit´ e ´
equivalente `
a P sur
la tribu F ∞ . Soit D la martingale associ´ ee `
a Q par la Proposition 5.7. On suppose
que les trajectoires de D sont continues. Soit L la martingale locale associ´ ee `
a D
par la Proposition 5.8. Alors, si M est une (F t , P)-martingale locale, le processus
M = M −
M, L
est une (F t , Q)-martingale locale.
Remarque. D’apr` es les cons´ equences du th´ eor` eme de repr´ esentation des martingales (voir la fin du paragraphe pr´ ec´ edent), l’hypoth` ese de continuit´ e des trajectoires
de D sera toujours satisfaite lorsque (F t ) est la filtration canonique compl´ et´ ee d’un
mouvement brownien.
D´ emonstration. Montrons d’abord que, si T est un temps d’arrˆ et et si X est
un processus adapt´ e `
a trajectoires continues tel que (XD) T est une P-martingale,
alors X T est une Q-martingale. Puisque, d’apr` es la Proposition 5.7, E Q [|X T ∧t |] =
E P [|X T ∧t D T ∧t |] < ∞, on a d’abord X T
t ∈ L 1 (Q). Ensuite, soient A ∈ F s et s < t.
Puisque A ∩ {T > s} ∈ F s , on a, en utilisant le fait que (XD) T est une P-martingale,
E P [1 A∩{T >s} X T ∧t D T ∧t ] = E P [1 A∩{T >s} X T ∧s D T ∧s ].
D’apr` es la Proposition 5.7,
D T ∧t =
dQ
dP |F T ∧t
, D T ∧s =
dQ
dP |F T ∧s
,
et donc, puisque A ∩ {T > s} ∈ F T ∧s ⊂ F T ∧t , il vient
E Q [1 A∩{T >s} X T ∧t ] = E Q [1 A∩{T >s} X T ∧s ].
D’autre part, il est imm´ ediat que
E Q [1 A∩{T ≤s} X T ∧t ] = E Q [1 A∩{T ≤s} X T ∧s ].
En combinant avec ce qui pr´ ec` ede, on obtient E Q [1 A X T ∧t ] = E Q [1 A X T ∧s ], d’o` u le
r´ esultat annonc´ e. En cons´ equence imm´ ediate de ce r´ esultat, on voit que si XD est
une P-martingale locale, alors X est une Q-martingale locale.
Soit maintenant M une P-martingale locale. On applique ce qui pr´ ec` ede `
a X =
M,
en remarquant que, d’apr` es la formule d’Itˆ o,
M t D t = M 0 D 0 +
t
0
M s dD s +
t
0
D s dM s −
t
0
D s d
M, L
s
+
M, D
t
= M 0 D 0 +
t
0
M s dD s +
t
0
D s dM s
puisque d
M, L
s
= D −1
s d
M, D
s
d’apr` es la Proposition 5.8. On voit ainsi que
MD
est une P-martingale locale, et donc
M est une Q-martingale locale.
107
Th´ eor` eme 5.8 (Girsanov). Soit Q une mesure de probabilit´ e ´
equivalente `
a P sur
la tribu F ∞ . Soit D la martingale associ´ ee `
a Q par la Proposition 5.7. On suppose
que les trajectoires de D sont continues. Soit L la martingale locale associ´ ee `
a D
par la Proposition 5.8. Alors, si M est une (F t , P)-martingale locale, le processus
M = M −
M, L
est une (F t , Q)-martingale locale.
Remarque. D’apr` es les cons´ equences du th´ eor` eme de repr´ esentation des martingales (voir la fin du paragraphe pr´ ec´ edent), l’hypoth` ese de continuit´ e des trajectoires
de D sera toujours satisfaite lorsque (F t ) est la filtration canonique compl´ et´ ee d’un
mouvement brownien.
D´ emonstration. Montrons d’abord que, si T est un temps d’arrˆ et et si X est
un processus adapt´ e `
a trajectoires continues tel que (XD) T est une P-martingale,
alors X T est une Q-martingale. Puisque, d’apr` es la Proposition 5.7, E Q [|X T ∧t |] =
E P [|X T ∧t D T ∧t |] < ∞, on a d’abord X T
t ∈ L 1 (Q). Ensuite, soient A ∈ F s et s < t.
Puisque A ∩ {T > s} ∈ F s , on a, en utilisant le fait que (XD) T est une P-martingale,
E P [1 A∩{T >s} X T ∧t D T ∧t ] = E P [1 A∩{T >s} X T ∧s D T ∧s ].
D’apr` es la Proposition 5.7,
D T ∧t =
dQ
dP |F T ∧t
, D T ∧s =
dQ
dP |F T ∧s
,
et donc, puisque A ∩ {T > s} ∈ F T ∧s ⊂ F T ∧t , il vient
E Q [1 A∩{T >s} X T ∧t ] = E Q [1 A∩{T >s} X T ∧s ].
D’autre part, il est imm´ ediat que
E Q [1 A∩{T ≤s} X T ∧t ] = E Q [1 A∩{T ≤s} X T ∧s ].
En combinant avec ce qui pr´ ec` ede, on obtient E Q [1 A X T ∧t ] = E Q [1 A X T ∧s ], d’o` u le
r´ esultat annonc´ e. En cons´ equence imm´ ediate de ce r´ esultat, on voit que si XD est
une P-martingale locale, alors X est une Q-martingale locale.
Soit maintenant M une P-martingale locale. On applique ce qui pr´ ec` ede `
a X =
M,
en remarquant que, d’apr` es la formule d’Itˆ o,
M t D t = M 0 D 0 +
t
0
M s dD s +
t
0
D s dM s −
t
0
D s d
M, L
s
+
M, D
t
= M 0 D 0 +
t
0
M s dD s +
t
0
D s dM s
puisque d
M, L
s
= D −1
s d
M, D
s
d’apr` es la Proposition 5.8. On voit ainsi que
MD
est une P-martingale locale, et donc
M est une Q-martingale locale.