108
5 Int´ egrale stochastique
Cons´ equences.
(a) Une P-martingale locale M reste une Q-semimartingale continue, dont la
d´ ecomposition est M =
M +
M, L
. On voit ainsi que la classe des P-semimartingales continues est contenue dans la classe des Q-semimartingales continues.
En fait ces deux classes co¨ ıncident. En effet, sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme
5.8, P et Q jouent des rˆ oles sym´ etriques. Pour le voir, appliquons le Th´ eor` eme 5.8
`
a M = −L. On voit que −
L = −L +
L, L
est une martingale locale, et
L,
L
=
L, L
. Donc,
E (−
L) t = exp(−L t +
L, L
t
−
1
2
L, L
t
) =
E (L) t
−1
= D
−1
t .
Cela montre que sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme 5.8, on peut ´
echanger les rˆ oles
de P et Q quitte `
a remplacer D par D −1 et L par −
L.
(b) Soient X et Y deux semimartingales continues (sous P ou sous Q). La valeur
du crochet
X,Y
est la mˆ eme sous les deux probabilit´ es P et Q. En effet, ce crochet
est toujours donn´ e par l’approximation de la Proposition 4.6 (cette observation a ´
et´ e
utilis´ ee implicitement dans (a) ci-dessus).
De mˆ eme, si H est un processus localement born´ e, l’int´ egrale stochastique H · X
est la mˆ eme sous P et sous Q (pour le voir, utiliser l’approximation par des processus
´
el´ ementaires).
Notons, toujours sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme 5.8,
M = G P
Q (M). L’application G P
Q envoie l’ensemble des P-martingales locales dans l’ensemble des Q-martingales locales. On v´ erifie facilement que G
Q
P ◦ G P
Q = Id. De plus, la transformation
G P
Q commute avec l’int´ egrale stochastique : si H est un processus localement born´ e,
H · G P
Q (M) = G P
Q (H · M).
(c) Si M = B est un (F t )-mouvement brownien sous P, alors
B = B −
B, L
est
une martingale locale sous Q, de variation quadratique
B,
B
t
=
B, B
t
= t. Donc,
d’apr` es le Th´ eor` eme 5.4,
B est un (F t )-mouvement brownien sous Q.
(d) On utilise souvent le th´ eor` eme de Girsanov “` a horizon fini”. Pour T > 0 fix´ e,
on se donne une filtration (F t ) t∈[0,T ] index´ ee par t ∈ [0, T ] au lieu de t ∈ [0, ∞].
On suppose que cette filtration satisfait les conditions habituelles (l’hypoth` ese de
compl´ etion signifiant que chaque tribu F t contient les P-n´ egligeables de F T ). Si
Q est une autre probabilit´ e ´
equivalente `
a P sur F T , on d´ efinit comme ci-dessus la
martingale (D t ,t ∈ [0, T ]) et, si D a une modification `
a trajectoires continues, la
martingale (L t ,t ∈ [0, T ]). L’analogue du Th´ eor` eme 5.8 reste alors bien sˆ ur vrai.
Dans les applications du th´ eor` eme de Girsanov, on construit la probabilit´ e Q de
la mani` ere suivante. On part d’une martingale locale L telle que L 0 = 0. Alors E (L) t
est une martingale locale `
a valeurs strictement positives, donc une surmartingale
(Proposition 4.3) ce qui assure l’existence de la limite E (L) ∞ avec, d’apr` es le lemme
de Fatou, E[E (L) ∞ ] ≤ 1. Si on a
E[E (L) ∞ ] = 1
(5.18)
5 Int´ egrale stochastique
Cons´ equences.
(a) Une P-martingale locale M reste une Q-semimartingale continue, dont la
d´ ecomposition est M =
M +
M, L
. On voit ainsi que la classe des P-semimartingales continues est contenue dans la classe des Q-semimartingales continues.
En fait ces deux classes co¨ ıncident. En effet, sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme
5.8, P et Q jouent des rˆ oles sym´ etriques. Pour le voir, appliquons le Th´ eor` eme 5.8
`
a M = −L. On voit que −
L = −L +
L, L
est une martingale locale, et
L,
L
=
L, L
. Donc,
E (−
L) t = exp(−L t +
L, L
t
−
1
2
L, L
t
) =
E (L) t
−1
= D
−1
t .
Cela montre que sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme 5.8, on peut ´
echanger les rˆ oles
de P et Q quitte `
a remplacer D par D −1 et L par −
L.
(b) Soient X et Y deux semimartingales continues (sous P ou sous Q). La valeur
du crochet
X,Y
est la mˆ eme sous les deux probabilit´ es P et Q. En effet, ce crochet
est toujours donn´ e par l’approximation de la Proposition 4.6 (cette observation a ´
et´ e
utilis´ ee implicitement dans (a) ci-dessus).
De mˆ eme, si H est un processus localement born´ e, l’int´ egrale stochastique H · X
est la mˆ eme sous P et sous Q (pour le voir, utiliser l’approximation par des processus
´
el´ ementaires).
Notons, toujours sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme 5.8,
M = G P
Q (M). L’application G P
Q envoie l’ensemble des P-martingales locales dans l’ensemble des Q-martingales locales. On v´ erifie facilement que G
Q
P ◦ G P
Q = Id. De plus, la transformation
G P
Q commute avec l’int´ egrale stochastique : si H est un processus localement born´ e,
H · G P
Q (M) = G P
Q (H · M).
(c) Si M = B est un (F t )-mouvement brownien sous P, alors
B = B −
B, L
est
une martingale locale sous Q, de variation quadratique
B,
B
t
=
B, B
t
= t. Donc,
d’apr` es le Th´ eor` eme 5.4,
B est un (F t )-mouvement brownien sous Q.
(d) On utilise souvent le th´ eor` eme de Girsanov “` a horizon fini”. Pour T > 0 fix´ e,
on se donne une filtration (F t ) t∈[0,T ] index´ ee par t ∈ [0, T ] au lieu de t ∈ [0, ∞].
On suppose que cette filtration satisfait les conditions habituelles (l’hypoth` ese de
compl´ etion signifiant que chaque tribu F t contient les P-n´ egligeables de F T ). Si
Q est une autre probabilit´ e ´
equivalente `
a P sur F T , on d´ efinit comme ci-dessus la
martingale (D t ,t ∈ [0, T ]) et, si D a une modification `
a trajectoires continues, la
martingale (L t ,t ∈ [0, T ]). L’analogue du Th´ eor` eme 5.8 reste alors bien sˆ ur vrai.
Dans les applications du th´ eor` eme de Girsanov, on construit la probabilit´ e Q de
la mani` ere suivante. On part d’une martingale locale L telle que L 0 = 0. Alors E (L) t
est une martingale locale `
a valeurs strictement positives, donc une surmartingale
(Proposition 4.3) ce qui assure l’existence de la limite E (L) ∞ avec, d’apr` es le lemme
de Fatou, E[E (L) ∞ ] ≤ 1. Si on a
E[E (L) ∞ ] = 1
(5.18)