5.4 Le th´ eor` eme de Girsanov
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alors il est facile de voir que E (L) est en fait une vraie martingale uniform´ ement
int´ egrable (via le lemme de Fatou, on a toujours E (L) t ≥ E[E (L) ∞ | F t ], mais (5.18)
entraˆ ıne E[E (L) ∞ ] = E[E (L) 0 ] = E[E (L) t ] pour tout t ≥ 0). En d´ efinissant alors
Q = E (L) ∞ · P, on est dans le cadre du Th´ eor` eme 5.8. Il est donc tr` es important de
pouvoir donner des conditions qui assurent l’´ egalit´ e (5.18).
Th´ eor` eme 5.9. Soit L une martingale locale telle que L 0 = 0. Consid´ erons les proprietes suivantes:
´ ´
(i) E[exp
1
2
L, L
∞
] < ∞ (crit` ere de Novikov);
(ii) L est une martingale uniform´ ement int´ egrable, et E[exp
1
2 L ∞ ] < ∞ (crit` ere de
Kazamaki);
(iii) E (L) est une martingale uniform´ ement int´ egrable.
Alors, (i)⇒(ii)⇒(iii).
D´ emonstration. (i)⇒(ii) La propri´ et´ e (i) entraˆ ıne que E[
L, L
∞
] < ∞ donc aussi
que L est une vraie martingale born´ ee dans L 2 (Th´ eor` eme 4.3). Ensuite,
exp
1
2
L ∞ = E (L)
1/2
∞ exp(
1
2
L, L
∞
)
1/2
d’o` u grˆ ace `
a l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz,
E[exp
1
2
L ∞ ] ≤ E[E (L) ∞ ]
1/2 E[exp(
1
2
L, L
∞
)]
1/2 ≤ E[exp(
1
2
L, L
∞
)]
1/2 < ∞.
(ii)⇒(iii) Puisque L est une martingale uniform´ ement int´ egrable, le Th´ eor` eme
3.6 montre que, pour tout temps d’arrˆ et T , on a L T = E[L ∞ | F T ]. L’in´ egalit´ e de
Jensen entraˆ ıne alors que
exp
1
2
L T ≤ E[exp
1
2
L ∞ | F T ].
Par hypoth` ese, E[exp
1
2 L ∞ ] < ∞, ce qui entraˆ ıne que la famille {E[exp
1
2 L ∞ | F T ] :
T temps d’arrˆ et} est uniform´ ement int´ egrable. L’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente montre alors
que la famille {exp
1
2 L T : T temps d’arrˆ et} est aussi uniform´ ement int´ egrable.
Pour 0 < a < 1, posons Z
(a)
t = exp(
aL t
1+a ). Alors, on v´ erifie facilement que
E (aL) t = (E (L) t )
a 2 (Z
(a)
t )
1−a 2 .
Si Γ ∈ F ∞ et T est un temps d’arrˆ et, l’in´ egalit´ e de H¨ older donne
E[1 Γ E (aL) T ] ≤ E[E (L) T ]
a 2
E[1 Γ Z
(a)
T ]
1−a 2 ≤ E[1 Γ Z
(a)
T ]
1−a 2 ≤ E[1 Γ exp
1
2
L T ]
2a(1−a) .
Dans la deuxi` eme in´ egalit´ e, on a utilis´ e la propri´ et´ e E[E (L) T ] ≤ 1, qui peut se
d´ eduire via le lemme de Fatou de l’in´ egalit´ e E[E (L) t∧T ] ≤ 1, vraie d’apr` es la
Proposition 3.10 parce que E (L) est une surmartingale positive. Dans la troisi` eme
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alors il est facile de voir que E (L) est en fait une vraie martingale uniform´ ement
int´ egrable (via le lemme de Fatou, on a toujours E (L) t ≥ E[E (L) ∞ | F t ], mais (5.18)
entraˆ ıne E[E (L) ∞ ] = E[E (L) 0 ] = E[E (L) t ] pour tout t ≥ 0). En d´ efinissant alors
Q = E (L) ∞ · P, on est dans le cadre du Th´ eor` eme 5.8. Il est donc tr` es important de
pouvoir donner des conditions qui assurent l’´ egalit´ e (5.18).
Th´ eor` eme 5.9. Soit L une martingale locale telle que L 0 = 0. Consid´ erons les proprietes suivantes:
´ ´
(i) E[exp
1
2
L, L
∞
] < ∞ (crit` ere de Novikov);
(ii) L est une martingale uniform´ ement int´ egrable, et E[exp
1
2 L ∞ ] < ∞ (crit` ere de
Kazamaki);
(iii) E (L) est une martingale uniform´ ement int´ egrable.
Alors, (i)⇒(ii)⇒(iii).
D´ emonstration. (i)⇒(ii) La propri´ et´ e (i) entraˆ ıne que E[
L, L
∞
] < ∞ donc aussi
que L est une vraie martingale born´ ee dans L 2 (Th´ eor` eme 4.3). Ensuite,
exp
1
2
L ∞ = E (L)
1/2
∞ exp(
1
2
L, L
∞
)
1/2
d’o` u grˆ ace `
a l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz,
E[exp
1
2
L ∞ ] ≤ E[E (L) ∞ ]
1/2 E[exp(
1
2
L, L
∞
)]
1/2 ≤ E[exp(
1
2
L, L
∞
)]
1/2 < ∞.
(ii)⇒(iii) Puisque L est une martingale uniform´ ement int´ egrable, le Th´ eor` eme
3.6 montre que, pour tout temps d’arrˆ et T , on a L T = E[L ∞ | F T ]. L’in´ egalit´ e de
Jensen entraˆ ıne alors que
exp
1
2
L T ≤ E[exp
1
2
L ∞ | F T ].
Par hypoth` ese, E[exp
1
2 L ∞ ] < ∞, ce qui entraˆ ıne que la famille {E[exp
1
2 L ∞ | F T ] :
T temps d’arrˆ et} est uniform´ ement int´ egrable. L’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente montre alors
que la famille {exp
1
2 L T : T temps d’arrˆ et} est aussi uniform´ ement int´ egrable.
Pour 0 < a < 1, posons Z
(a)
t = exp(
aL t
1+a ). Alors, on v´ erifie facilement que
E (aL) t = (E (L) t )
a 2 (Z
(a)
t )
1−a 2 .
Si Γ ∈ F ∞ et T est un temps d’arrˆ et, l’in´ egalit´ e de H¨ older donne
E[1 Γ E (aL) T ] ≤ E[E (L) T ]
a 2
E[1 Γ Z
(a)
T ]
1−a 2 ≤ E[1 Γ Z
(a)
T ]
1−a 2 ≤ E[1 Γ exp
1
2
L T ]
2a(1−a) .
Dans la deuxi` eme in´ egalit´ e, on a utilis´ e la propri´ et´ e E[E (L) T ] ≤ 1, qui peut se
d´ eduire via le lemme de Fatou de l’in´ egalit´ e E[E (L) t∧T ] ≤ 1, vraie d’apr` es la
Proposition 3.10 parce que E (L) est une surmartingale positive. Dans la troisi` eme