110
5 Int´ egrale stochastique
in´ egalit´ e, on utilise l’in´ egalit´ e de Jensen en remarquant que
1+a
2a > 1. Comme la
famille des {exp
1
2 L T : T temps d’arrˆ et} est uniform´ ement int´ egrable, l’in´ egalit´ e
pr´ ec´ edente montre que la famille des {E (aL) T : T temps d’arrˆ et} l’est aussi. Cela
entraˆ ıne facilement que E (aL) est une (vraie) martingale uniform´ ement int´ egrable.
Il en d´ ecoule que
1 = E[E (aL) ∞ ] ≤ E[E (L) ∞ ]
a 2
E[Z
(a)
∞ ]
1−a 2 ≤ E[E (L) ∞ ]
a 2
E[exp
1
2
L ∞ ]
2a(1−a) ,
en utilisant `
a nouveau l’in´ egalit´ e de Jensen comme ci-dessus. Lorsque a → 1, cette
derni` ere in´ egalit´ e entraˆ ıne E[E (L) ∞ ] ≥ 1 d’o` u E[E (L) ∞ ] = 1.
5.5 Quelques applications du th´ eor` eme de Girsanov
Dans cette partie, nous d´ ecrivons certaines applications simples du th´ eor` eme de
Girsanov, qui illustrent la force des r´ esultats pr´ ec´ edents.
Soit b une fonction mesurable sur R + × R. Nous supposerons qu’il existe une
fonction g ∈ L 2 (R + , B(R + ), dt) telle que, pour tout (t, x) ∈ R + × R, |b(t, x)| ≤ g(t).
Cette hypoth` ese contient en particulier le cas o` u il existe A > 0 tel que b soit born´ ee
sur [0, A] × R + et nulle sur ]A, ∞[×R + .
Soit B un (F t )-mouvement brownien. On peut alors d´ efinir la martingale locale
L t =
t
0
b(s, B s ) dB s
et la martingale exponentielle associ´ ee
D t = E (L) t = exp
t
0
b(s, B s ) dB s −
1
2
t
0
b(s, B s )
2 ds
.
Notre hypoth` ese sur b assure que la condition (i) du Th´ eor` eme 5.9 est satisfaite,
et donc D est une (vraie) martingale uniform´ ement int´ egrable. Soit Q = D ∞ · P. Le
th´ eor` eme de Girsanov, et la remarque (c) suivant l’´ enonc´ e de ce th´ eor` eme montrent
que le processus
β t := B t −
t
0
b(s, B s ) ds
est un (F t )-mouvement brownien sous Q.
On peut r´ eexprimer cette propri´ et´ e en disant que sous la probabilit´ e Q il existe un
(F t )-mouvement brownien β tel que le processus X = B soit solution de l’´ equation
diff´ erentielle stochastique
dX t = dβ t + b(t, X t ) dt.
Cette ´
equation est du type de celles qui seront consid´ er´ ees plus tard dans le chapitre
7, mais `
a la diff´ erence des r´ esultats de ce chapitre nous ne faisons ici aucune hy-
5 Int´ egrale stochastique
in´ egalit´ e, on utilise l’in´ egalit´ e de Jensen en remarquant que
1+a
2a > 1. Comme la
famille des {exp
1
2 L T : T temps d’arrˆ et} est uniform´ ement int´ egrable, l’in´ egalit´ e
pr´ ec´ edente montre que la famille des {E (aL) T : T temps d’arrˆ et} l’est aussi. Cela
entraˆ ıne facilement que E (aL) est une (vraie) martingale uniform´ ement int´ egrable.
Il en d´ ecoule que
1 = E[E (aL) ∞ ] ≤ E[E (L) ∞ ]
a 2
E[Z
(a)
∞ ]
1−a 2 ≤ E[E (L) ∞ ]
a 2
E[exp
1
2
L ∞ ]
2a(1−a) ,
en utilisant `
a nouveau l’in´ egalit´ e de Jensen comme ci-dessus. Lorsque a → 1, cette
derni` ere in´ egalit´ e entraˆ ıne E[E (L) ∞ ] ≥ 1 d’o` u E[E (L) ∞ ] = 1.
5.5 Quelques applications du th´ eor` eme de Girsanov
Dans cette partie, nous d´ ecrivons certaines applications simples du th´ eor` eme de
Girsanov, qui illustrent la force des r´ esultats pr´ ec´ edents.
Soit b une fonction mesurable sur R + × R. Nous supposerons qu’il existe une
fonction g ∈ L 2 (R + , B(R + ), dt) telle que, pour tout (t, x) ∈ R + × R, |b(t, x)| ≤ g(t).
Cette hypoth` ese contient en particulier le cas o` u il existe A > 0 tel que b soit born´ ee
sur [0, A] × R + et nulle sur ]A, ∞[×R + .
Soit B un (F t )-mouvement brownien. On peut alors d´ efinir la martingale locale
L t =
t
0
b(s, B s ) dB s
et la martingale exponentielle associ´ ee
D t = E (L) t = exp
t
0
b(s, B s ) dB s −
1
2
t
0
b(s, B s )
2 ds
.
Notre hypoth` ese sur b assure que la condition (i) du Th´ eor` eme 5.9 est satisfaite,
et donc D est une (vraie) martingale uniform´ ement int´ egrable. Soit Q = D ∞ · P. Le
th´ eor` eme de Girsanov, et la remarque (c) suivant l’´ enonc´ e de ce th´ eor` eme montrent
que le processus
β t := B t −
t
0
b(s, B s ) ds
est un (F t )-mouvement brownien sous Q.
On peut r´ eexprimer cette propri´ et´ e en disant que sous la probabilit´ e Q il existe un
(F t )-mouvement brownien β tel que le processus X = B soit solution de l’´ equation
diff´ erentielle stochastique
dX t = dβ t + b(t, X t ) dt.
Cette ´
equation est du type de celles qui seront consid´ er´ ees plus tard dans le chapitre
7, mais `
a la diff´ erence des r´ esultats de ce chapitre nous ne faisons ici aucune hy-