5.5 Quelques applications du th´ eor` eme de Girsanov
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poth` ese de r´ egularit´ e sur la fonction b : il est remarquable que le th´ eor` eme de Girsanov permette de construire des solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques
sans r´ egularit´ e sur les coefficients.
La formule de Cameron-Martin. Nous particularisons maintenant la discussion
pr´ ec´ edente au cas o` u la fonction b(t, x) ne d´ epend pas de x : nous supposons que
b(t, x) = g(t), o` u g ∈ L 2 (R + , B(R + ), dt), et nous notons aussi, pour tout t ≥ 0,
h(t) =
t
0
g(s) ds.
L’espace H des fonctions h qui peuvent ˆ
etre ´
ecrites sous cette forme est appel´ e
l’espace de Cameron-Martin. Si h ∈ H , on note parfois ˙
h = g la fonction associ´ ee
dans L 2 (R + , B(R + ), dt) (c’est la d´ eriv´ ee de h au sens des distributions).
Comme cas particulier de la discussion pr´ ec´ edente, sous la mesure de probabilit´ e
Q := D ∞ · P = exp
∞
0
g(s) dB s −
1
2
∞
0
g(s)
2 ds
· P,
le processus β t := B t − h(t) est un mouvement brownien. Donc, pour toute fonction
Φ mesurable positive sur C(R + , R),
E P [D ∞ Φ((B t ) t≥0 )] = E Q [Φ((B t ) t≥0 )] = E Q [Φ((β t + h(t)) t≥0 )]
= E P [Φ((B t + h(t)) t≥0 )].
L’´ egalit´ e entre les deux termes extrˆ emes constitue la formule de Cameron-Martin,
que nous r´ e´ ecrivons en nous plac ¸ant sur l’espace canonique (voir la fin du paragraphe 2.2).
Proposition 5.9 (Formule de Cameron-Martin). Soit W (dw) la mesure de Wiener
sur C(R + , R), et soit h une fonction de l’espace de Cameron-Martin H . Alors, pour
toute fonction Φ mesurable positive sur C(R + , R),
W (dw) Φ(w + h) =
W (dw) exp
∞
0
˙
h(s) dw(s) −
1
2
∞
0
˙
h(s)
2 ds
Φ(w).
Remarque. L’int´ egrale
∞
0
˙
h(s) dw(s) est une int´ egrale stochastique par rapport `
a
w(s) (qui est un mouvement brownien sous W (dw)), mais c’est aussi une int´ egrale
de Wiener puisque la fonction ˙
h(s) est d´ eterministe. La formule de Cameron-Martin
peut ˆ
etre ´
etablie par des calculs gaussiens, sans faire intervenir l’int´ egrale stochastique ni le th´ eor` eme de Girsanov. Cependant, il est instructif de voir cette formule
comme un cas particulier d’application du th´ eor` eme de Girsanov.
La formule de Cameron-Martin exprime une propri´ et´ e de quasi-invariance de la
mesure de Wiener pour les translations par les ´
el´ ements de l’espace de CameronMartin : la mesure-image de la mesure de Wiener par l’application w → w + h a
une densit´ e qui est la valeur terminale de la martingale exponentielle associ´ ee `
a
t
0
˙
h(s)dw(s).
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poth` ese de r´ egularit´ e sur la fonction b : il est remarquable que le th´ eor` eme de Girsanov permette de construire des solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques
sans r´ egularit´ e sur les coefficients.
La formule de Cameron-Martin. Nous particularisons maintenant la discussion
pr´ ec´ edente au cas o` u la fonction b(t, x) ne d´ epend pas de x : nous supposons que
b(t, x) = g(t), o` u g ∈ L 2 (R + , B(R + ), dt), et nous notons aussi, pour tout t ≥ 0,
h(t) =
t
0
g(s) ds.
L’espace H des fonctions h qui peuvent ˆ
etre ´
ecrites sous cette forme est appel´ e
l’espace de Cameron-Martin. Si h ∈ H , on note parfois ˙
h = g la fonction associ´ ee
dans L 2 (R + , B(R + ), dt) (c’est la d´ eriv´ ee de h au sens des distributions).
Comme cas particulier de la discussion pr´ ec´ edente, sous la mesure de probabilit´ e
Q := D ∞ · P = exp
∞
0
g(s) dB s −
1
2
∞
0
g(s)
2 ds
· P,
le processus β t := B t − h(t) est un mouvement brownien. Donc, pour toute fonction
Φ mesurable positive sur C(R + , R),
E P [D ∞ Φ((B t ) t≥0 )] = E Q [Φ((B t ) t≥0 )] = E Q [Φ((β t + h(t)) t≥0 )]
= E P [Φ((B t + h(t)) t≥0 )].
L’´ egalit´ e entre les deux termes extrˆ emes constitue la formule de Cameron-Martin,
que nous r´ e´ ecrivons en nous plac ¸ant sur l’espace canonique (voir la fin du paragraphe 2.2).
Proposition 5.9 (Formule de Cameron-Martin). Soit W (dw) la mesure de Wiener
sur C(R + , R), et soit h une fonction de l’espace de Cameron-Martin H . Alors, pour
toute fonction Φ mesurable positive sur C(R + , R),
W (dw) Φ(w + h) =
W (dw) exp
∞
0
˙
h(s) dw(s) −
1
2
∞
0
˙
h(s)
2 ds
Φ(w).
Remarque. L’int´ egrale
∞
0
˙
h(s) dw(s) est une int´ egrale stochastique par rapport `
a
w(s) (qui est un mouvement brownien sous W (dw)), mais c’est aussi une int´ egrale
de Wiener puisque la fonction ˙
h(s) est d´ eterministe. La formule de Cameron-Martin
peut ˆ
etre ´
etablie par des calculs gaussiens, sans faire intervenir l’int´ egrale stochastique ni le th´ eor` eme de Girsanov. Cependant, il est instructif de voir cette formule
comme un cas particulier d’application du th´ eor` eme de Girsanov.
La formule de Cameron-Martin exprime une propri´ et´ e de quasi-invariance de la
mesure de Wiener pour les translations par les ´
el´ ements de l’espace de CameronMartin : la mesure-image de la mesure de Wiener par l’application w → w + h a
une densit´ e qui est la valeur terminale de la martingale exponentielle associ´ ee `
a
t
0
˙
h(s)dw(s).