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5 Int´ egrale stochastique
que X = M est une martingale locale issue de 0. Pour chaque n, d´ efinissons un
processus H (n) par
H
(n)
s =



H t n
i
si t n
i < s ≤ t n
i+1
0
si s > t ou s = 0.
Posons enfin, pour tout p ≥ 1,
T p = inf{s ≥ 0 : |H s | +
M, M
s
≥ p},
et remarquons que H, H (n) et
M, M
sont born´ es par p sur l’intervalle ]0, T p ].
D’apr` es (5.12), pour tout p fix´ e,
E
(H
(n) · M
T p ) t − (H · M
T p ) t
2
≤ E
t∧T p
0
(H
(n)
s − H s )
2 d
M, M
s
converge vers 0 quand n → ∞ par convergence domin´ ee. En utilisant (5.3), on en
d´ eduit que
lim
n→∞
(H
(n) · M) t∧T p = (H · M) t∧T p ,
dans L 2 . Puisque que P[T p > t] ↑ 1 quand p ↑ ∞, on obtient que
lim
n→∞
(H
(n) · M) t = (H · M) t ,
en probabilit´ e. Cela termine la preuve puisque d’apr` es la propri´ et´ e (v) ci-dessus on
a
(H
(n) · M) t =
p n −1
∑
i=0
H t n
i
(X t n
i+1
− X t n
i
).
Remarque. Il est essentiel que dans l’approximation donn´ ee dans la proposition
pr´ ec´ edente on consid` ere la valeur de H `
a l’extr´ emit´ e gauche de l’intervalle ]t n
i ,t n
i+1 ]:
si on remplace H t n
i
par H t n
i+1
le r´ esultat n’est plus vrai. Montrons-le par un contreexemple tr` es simple, en prenant H t = X t et en supposant les subdivisions (t n
i ) 0≤i≤p n
emboˆ ıt´ ees. On a d’apr` es la proposition,
lim
n→∞
p n −1
∑
i=0
X t n
i
(X t n
i+1
− X t n
i
) =
t
0
X s dX s ,
en probabilit´ e. D’autre part, en ´
ecrivant
p n −1
∑
i=0
X t n
i+1
(X t n
i+1
− X t n
i
) =
p n −1
∑
i=0
X t n
i
(X t n
i+1
− X t n
i
) +
p n −1
∑
i=0
(X t n
i+1
− X t n
i
)
2 ,
et en utilisant la Proposition 4.6, on a