5.1 Construction de l’int´ egrale stochastique
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(v) Si H est un processus progressif de la forme H s (ω) = ∑
p−1
i=0 H (i) (ω) 1 ]t i ,t i+1 ] (s),
o` u, pour chaque i, H (i) est F t i -mesurable, alors
(H · X) t =
p−1
∑
i=0
H (i) (X t i+1 ∧t − X t i ∧t ).
Les propri´ et´ es (i)-(iv) d´ ecoulent facilement des r´ esultats obtenus quand X est une
martingale, resp. un processus `
a variation finie. Dans la propri´ et´ e (v), la (petite) difficult´ e vient de ce qu’on ne suppose pas que les variables H (i) soient born´ ees (si c’est
le cas H est un processus ´
el´ ementaire, et l’´ egalit´ e de (v) est vraie par d´ efinition).
Pour la preuve de (v), on remarque d’abord qu’il suffit de traiter le cas o` u X = M
est une martingale locale, et on peut mˆ eme supposer que M est dans H 2 (quitte `
a
arrˆ eter M `
a des temps d’arrˆ et convenables). Ensuite, on observe que si on pose pour
tout entier n ≥ 1,
T n = inf{t ≥ 0 : |H t | ≥ n} = inf{t i : |H (i) | ≥ n} (avec inf ∅ = ∞)
les T n forment une suite de temps d’arrˆ et qui croˆ ıt vers l’infini (mˆ eme de mani` ere
stationnaire) et on peut ´
ecrire
H s 1 [0,T n ] (s) =
p−1
∑
i=0
H
n
(i) 1 ]t i ,t i+1 ] (s)
o` u les H n
(i) = H (i) 1 {T n >t i } v´ erifient les mˆ emes propri´ et´ es que les H (i) et sont de plus
born´ es par n. Donc H 1 [0,T n ] est un processus ´
el´ ementaire, et par la construction
mˆ eme de l’int´ egrale stochastique dans ce cas on a
(H · M) t∧T n = (H 1 [0,T n ] · M) t =
p−1
∑
i=0
H
n
(i) (X t i+1 ∧t − X t i ∧t ).
Il suffit maintenant de faire tendre n vers l’infini dans l’´ egalit´ e entre les deux termes
extrˆ emes.
Nous terminons ce paragraphe par un r´ esultat technique d’approximation qui sera
utile dans la suite.
Proposition 5.5. Soit X une semimartingale continue et soit H un processus adapt´ e
`
a trajectoires continues. Alors, pour tout t > 0, pour toute suite 0 = t n
0 < · · · < t n
p n = t
de subdivisions de [0,t] de pas tendant vers 0, on a
lim
n→∞
p n −1
∑
i=0
H t n
i
(X t n
i+1
− X t n
i
) =
t
0
H s dX s ,
au sens de la convergence en probabilit´ e.
D´ emonstration. On peut traiter s´ epar´ ement les parties martingale et `
a variation finie
de X. La partie `
a variation finie est trait´ ee par le Lemme 4.1. On peut donc supposer
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(v) Si H est un processus progressif de la forme H s (ω) = ∑
p−1
i=0 H (i) (ω) 1 ]t i ,t i+1 ] (s),
o` u, pour chaque i, H (i) est F t i -mesurable, alors
(H · X) t =
p−1
∑
i=0
H (i) (X t i+1 ∧t − X t i ∧t ).
Les propri´ et´ es (i)-(iv) d´ ecoulent facilement des r´ esultats obtenus quand X est une
martingale, resp. un processus `
a variation finie. Dans la propri´ et´ e (v), la (petite) difficult´ e vient de ce qu’on ne suppose pas que les variables H (i) soient born´ ees (si c’est
le cas H est un processus ´
el´ ementaire, et l’´ egalit´ e de (v) est vraie par d´ efinition).
Pour la preuve de (v), on remarque d’abord qu’il suffit de traiter le cas o` u X = M
est une martingale locale, et on peut mˆ eme supposer que M est dans H 2 (quitte `
a
arrˆ eter M `
a des temps d’arrˆ et convenables). Ensuite, on observe que si on pose pour
tout entier n ≥ 1,
T n = inf{t ≥ 0 : |H t | ≥ n} = inf{t i : |H (i) | ≥ n} (avec inf ∅ = ∞)
les T n forment une suite de temps d’arrˆ et qui croˆ ıt vers l’infini (mˆ eme de mani` ere
stationnaire) et on peut ´
ecrire
H s 1 [0,T n ] (s) =
p−1
∑
i=0
H
n
(i) 1 ]t i ,t i+1 ] (s)
o` u les H n
(i) = H (i) 1 {T n >t i } v´ erifient les mˆ emes propri´ et´ es que les H (i) et sont de plus
born´ es par n. Donc H 1 [0,T n ] est un processus ´
el´ ementaire, et par la construction
mˆ eme de l’int´ egrale stochastique dans ce cas on a
(H · M) t∧T n = (H 1 [0,T n ] · M) t =
p−1
∑
i=0
H
n
(i) (X t i+1 ∧t − X t i ∧t ).
Il suffit maintenant de faire tendre n vers l’infini dans l’´ egalit´ e entre les deux termes
extrˆ emes.
Nous terminons ce paragraphe par un r´ esultat technique d’approximation qui sera
utile dans la suite.
Proposition 5.5. Soit X une semimartingale continue et soit H un processus adapt´ e
`
a trajectoires continues. Alors, pour tout t > 0, pour toute suite 0 = t n
0 < · · · < t n
p n = t
de subdivisions de [0,t] de pas tendant vers 0, on a
lim
n→∞
p n −1
∑
i=0
H t n
i
(X t n
i+1
− X t n
i
) =
t
0
H s dX s ,
au sens de la convergence en probabilit´ e.
D´ emonstration. On peut traiter s´ epar´ ement les parties martingale et `
a variation finie
de X. La partie `
a variation finie est trait´ ee par le Lemme 4.1. On peut donc supposer