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5 Int´ egrale stochastique
E
∞
0
H s dM s
2
= E
∞
0
H
2
s d
M, M
s
.
Si la condition (5.11) n’est pas satisfaite, les formules pr´ ec´ edentes ne sont pas toujours vraies. Cependant, on a toujours la majoration suivante.
Proposition 5.4. Soit M une martingale locale, et soit H ∈ L 2
loc (M). Alors, pour tout
t ≥ 0,
E
t
0
H s dM s
2
≤ E
t
0
H
2
s d
M, M
s
.
(5.12)
D´ emonstration. En introduisant la mˆ eme suite (T n ) que dans la preuve du Th´ eor` eme
5.2, et en utilisant le fait que H ∈ L 2 (M T n ), on d´ eduit de (5.6) que, pour tout t ≥ 0,
E[(H · M)
2
t∧T n ] = E
t∧T n
0
H
2
s d
M, M
s
.
On aboutit ensuite au r´ esultat recherch´ e en utilisant le lemme de Fatou (pour le
terme de droite) et le th´ eor` eme de convergence monotone (pour celui de gauche).
Nous allons maintenant ´
etendre l’int´ egrale stochastique aux semimartingales
continues. On dit qu’un processus progressif H est localement born´ e si
∀t ≥ 0,
sup
s≤t
|H s | < ∞, p.s.
En particulier, tout processus adapt´ e `
a trajectoires continues est localement born´ e.
De plus, si H est localement born´ e, alors, pour tout processus `
a variation finie V , on
a
∀t ≥ 0,
t
0
|H s | |dV s | < ∞, p.s.
et de mˆ eme, pour toute martingale locale M, on a H ∈ L 2
loc (M).
D´ efinition 5.4. Soit X = M +V une semimartingale continue, et soit H un processus
(progressif) localement born´ e. L’int´ egrale stochastique H · X est alors d´ efinie par
H · X = H · M + H ·V,
et on note
(H · X) t =
t
0
H s dX s .
Propri´ et´ es.
(i) L’application (H, X) → H · X est bilin´ eaire.
(ii) H · (K · X) = (HK) · X, si H et K sont localement born´ es.
(iii) Pour tout temps d’arrˆ et T , (H · X) T = H1 [0,T ] · X = H · X T .
(iv) Si X est une martingale locale, resp. si X est un processus `
a variation finie,
alors il en va de mˆ eme pour H · X.
5 Int´ egrale stochastique
E
∞
0
H s dM s
2
= E
∞
0
H
2
s d
M, M
s
.
Si la condition (5.11) n’est pas satisfaite, les formules pr´ ec´ edentes ne sont pas toujours vraies. Cependant, on a toujours la majoration suivante.
Proposition 5.4. Soit M une martingale locale, et soit H ∈ L 2
loc (M). Alors, pour tout
t ≥ 0,
E
t
0
H s dM s
2
≤ E
t
0
H
2
s d
M, M
s
.
(5.12)
D´ emonstration. En introduisant la mˆ eme suite (T n ) que dans la preuve du Th´ eor` eme
5.2, et en utilisant le fait que H ∈ L 2 (M T n ), on d´ eduit de (5.6) que, pour tout t ≥ 0,
E[(H · M)
2
t∧T n ] = E
t∧T n
0
H
2
s d
M, M
s
.
On aboutit ensuite au r´ esultat recherch´ e en utilisant le lemme de Fatou (pour le
terme de droite) et le th´ eor` eme de convergence monotone (pour celui de gauche).
Nous allons maintenant ´
etendre l’int´ egrale stochastique aux semimartingales
continues. On dit qu’un processus progressif H est localement born´ e si
∀t ≥ 0,
sup
s≤t
|H s | < ∞, p.s.
En particulier, tout processus adapt´ e `
a trajectoires continues est localement born´ e.
De plus, si H est localement born´ e, alors, pour tout processus `
a variation finie V , on
a
∀t ≥ 0,
t
0
|H s | |dV s | < ∞, p.s.
et de mˆ eme, pour toute martingale locale M, on a H ∈ L 2
loc (M).
D´ efinition 5.4. Soit X = M +V une semimartingale continue, et soit H un processus
(progressif) localement born´ e. L’int´ egrale stochastique H · X est alors d´ efinie par
H · X = H · M + H ·V,
et on note
(H · X) t =
t
0
H s dX s .
Propri´ et´ es.
(i) L’application (H, X) → H · X est bilin´ eaire.
(ii) H · (K · X) = (HK) · X, si H et K sont localement born´ es.
(iii) Pour tout temps d’arrˆ et T , (H · X) T = H1 [0,T ] · X = H · X T .
(iv) Si X est une martingale locale, resp. si X est un processus `
a variation finie,
alors il en va de mˆ eme pour H · X.