5.1 Construction de l’int´ egrale stochastique
87
Puisque les processus (H · M) T n sont des martingales de H 2 , donc en particulier
uniform´ ement int´ egrables, H · M est une martingale locale.
Soit N une martingale locale, qu’on peut supposer issue de 0 et soient T
n =
inf{t ≥ 0 : |N t | ≥ n}, S n = T n ∧ T
n . Alors,
H · M, N
S n =
(H · M)
T n , N
T
n
=
H · M
T n , N
T
n
= H ·
M
T n , N
T
n
= H ·
M, N
S n
= (H ·
M, N
)
S n
d’o` u l’´ egalit´ e
H ·M, N
= H ·
M, N
. Le fait que cette ´
egalit´ e ´
ecrite pour toute martingale locale N caract´ erise H · M se d´ emontre exactement comme dans le Th´ eor` eme
5.1.
La propri´ et´ e (5.9) est obtenue dans ce cadre par les mˆ emes arguments que la propri´ et´ e (5.3) dans la preuve du Th´ eor` eme 5.1 (ces arguments utilisaient seulement la
propri´ et´ e caract´ eristique (5.2) qu’on vient d’´ etendre sous la forme (5.8)). De mˆ eme
la preuve de (5.10) est exactement analogue `
a celle de la Proposition 5.3.
Enfin, si M ∈ H 2 et H ∈ L 2 (M), l’´ egalit´ e
H · M, H · M
= H 2 ·
M, M
entraˆ ıne
d’abord que H · M ∈ H 2 , et ensuite la propri´ et´ e caract´ eristique (5.2) montre que les
d´ efinitions des Th´ eor` emes 5.1 et 5.2 co¨ ıncident.
Remarque. Lien avec l’int´ egrale de Wiener. Consid´ erons le cas particulier o` u B
est un mouvement brownien (en dimension un, issu de 0) et h ∈ L 2 (R + , B(R + ), dt)
est une fonction d´ eterministe de carr´ e int´ egrable. On peut alors d´ efinir l’int´ egrale de
Wiener
t
0 h(s)dB s = G( f 1 [0,t] ), o` u G est la mesure gaussienne associ´ ee `
a B (voir la
fin du paragraphe 2.1 ci-dessus). On voit ais´ ement que cette int´ egrale co¨ ıncide avec
l’int´ egrale stochastique (h · B) t que nous venons de d´ efinir. En effet, c’est imm´ ediat
dans le cas o` u h est une fonction en escalier, et on peut ensuite utiliser un argument
de densit´ e.
Discutons maintenant l’extension des formules de moments ´
enonc´ ees avant le
Th´ eor` eme 5.2. Soient M une martingale locale, H ∈ L 2
loc (M) et t ∈ [0, ∞]. Alors,
sous la condition
E
t
0
H
2
s d
M, M
s
< ∞,
(5.11)
on peut appliquer `
a (H · M) t le Th´ eor` eme 4.3, et on a
E
t
0
H s dM s
= 0,
E
t
0
H s dM s
2
= E
t
0
H
2
s d
M, M
s
,
et de mˆ eme (5.7) reste vrai sur l’intervalle de temps [0,t]. En particulier (cas t = ∞),
si H ∈ L 2 (M), la martingale locale H.M est dans H 2 (vraie martingale born´ ee dans
L 2 ) et sa valeur terminale v´ erifie
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Puisque les processus (H · M) T n sont des martingales de H 2 , donc en particulier
uniform´ ement int´ egrables, H · M est une martingale locale.
Soit N une martingale locale, qu’on peut supposer issue de 0 et soient T
n =
inf{t ≥ 0 : |N t | ≥ n}, S n = T n ∧ T
n . Alors,
H · M, N
S n =
(H · M)
T n , N
T
n
=
H · M
T n , N
T
n
= H ·
M
T n , N
T
n
= H ·
M, N
S n
= (H ·
M, N
)
S n
d’o` u l’´ egalit´ e
H ·M, N
= H ·
M, N
. Le fait que cette ´
egalit´ e ´
ecrite pour toute martingale locale N caract´ erise H · M se d´ emontre exactement comme dans le Th´ eor` eme
5.1.
La propri´ et´ e (5.9) est obtenue dans ce cadre par les mˆ emes arguments que la propri´ et´ e (5.3) dans la preuve du Th´ eor` eme 5.1 (ces arguments utilisaient seulement la
propri´ et´ e caract´ eristique (5.2) qu’on vient d’´ etendre sous la forme (5.8)). De mˆ eme
la preuve de (5.10) est exactement analogue `
a celle de la Proposition 5.3.
Enfin, si M ∈ H 2 et H ∈ L 2 (M), l’´ egalit´ e
H · M, H · M
= H 2 ·
M, M
entraˆ ıne
d’abord que H · M ∈ H 2 , et ensuite la propri´ et´ e caract´ eristique (5.2) montre que les
d´ efinitions des Th´ eor` emes 5.1 et 5.2 co¨ ıncident.
Remarque. Lien avec l’int´ egrale de Wiener. Consid´ erons le cas particulier o` u B
est un mouvement brownien (en dimension un, issu de 0) et h ∈ L 2 (R + , B(R + ), dt)
est une fonction d´ eterministe de carr´ e int´ egrable. On peut alors d´ efinir l’int´ egrale de
Wiener
t
0 h(s)dB s = G( f 1 [0,t] ), o` u G est la mesure gaussienne associ´ ee `
a B (voir la
fin du paragraphe 2.1 ci-dessus). On voit ais´ ement que cette int´ egrale co¨ ıncide avec
l’int´ egrale stochastique (h · B) t que nous venons de d´ efinir. En effet, c’est imm´ ediat
dans le cas o` u h est une fonction en escalier, et on peut ensuite utiliser un argument
de densit´ e.
Discutons maintenant l’extension des formules de moments ´
enonc´ ees avant le
Th´ eor` eme 5.2. Soient M une martingale locale, H ∈ L 2
loc (M) et t ∈ [0, ∞]. Alors,
sous la condition
E
t
0
H
2
s d
M, M
s
< ∞,
(5.11)
on peut appliquer `
a (H · M) t le Th´ eor` eme 4.3, et on a
E
t
0
H s dM s
= 0,
E
t
0
H s dM s
2
= E
t
0
H
2
s d
M, M
s
,
et de mˆ eme (5.7) reste vrai sur l’intervalle de temps [0,t]. En particulier (cas t = ∞),
si H ∈ L 2 (M), la martingale locale H.M est dans H 2 (vraie martingale born´ ee dans
L 2 ) et sa valeur terminale v´ erifie