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5 Int´ egrale stochastique
A l’aide des identit´ es (5.3) il est facile d’´ etendre la d´ efinition de l’int´ egrale
stochastique H · M `
a une martingale locale quelconque.
Soit M une martingale locale issue de 0. On note L 2
loc (M) (resp. L 2 (M)) l’espace
des processus progressifs H tels que, pour tout t ≥ 0,
t
0
H
2
s d
M, M
s
< ∞, p.s.
(resp. E
∞
0
H
2
s d
M, M
s
< ∞).
Th´ eor` eme 5.2. Soit M une martingale locale issue de 0. Pour tout H ∈ L 2
loc (M), il
existe une unique martingale locale issue de 0, not´ ee H · M, telle que pour toute
martingale locale N,
H · M, N
= H ·
M, N
.
(5.8)
Si T est un temps d’arrˆ et, on a
(1 [0,T ] H) · M = (H · M)
T = H · M
T .
(5.9)
Si K ∈ L 2
loc (M) et H ∈ L 2
loc (K · M), on a HK ∈ L 2
loc (M), et
H · (K · M) = HK · M.
(5.10)
Enfin, si M ∈ H 2 , et H ∈ L 2 (M), la d´ efinition de H · M ´
etend celle du Th´ eor` eme 5.1.
D´ emonstration. On note
T n = inf{t ≥ 0 :
t
0
(1 + H
2
s ) d
M, M
s
≥ n},
de sorte que (T n ) est une suite de temps d’arrˆ et croissant vers +∞ (en toute rigueur,
il faudrait ici tenir compte de l’ensemble de probabilit´ e nulle sur lequel il existe une
valeur t < ∞ pour laquelle
t
0 H 2
s d
M, M
s
= ∞ : sur cet ensemble n´ egligeable, on
remplace H par 0 dans la construction qui suit). Puisque
M
T n , M
T n
t
=
M, M
t∧T n
≤ n,
la martingale arrˆ et´ ee M T n est dans H 2 (Th´ eor` eme 4.3). De plus, il est aussi clair que
∞
0
H
2
s d
M
T n , M
T n
s
≤ n.
Donc, H ∈ L 2 (M T n ), et on peut d´ efinir l’int´ egrale stochastique H · M T n pour chaque
n. En utilisant la propri´ et´ e (5.3), on voit que si m > n on a
H · M
T n = (H · M
T m )
T n .
Cela montre qu’il existe un (unique) processus, not´ e H · M, tel que, pour tout n,
(H · M)
T n = H · M
T n .