5.1 Construction de l’int´ egrale stochastique
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∞
0
H
2
s K
2
s d
M, M
s
=
∞
0
H
2
s d
K · M, K · M
s
ce qui donne la premi` ere assertion. Pour la seconde il suffit de remarquer que si
N ∈ H 2 ,
(HK) · M, N
= HK ·
M, N
= H · (K ·
M, N
)
= H ·
K · M, N
=
H · (K · M), N
d’o` u le r´ esultat voulu.
Remarque. De mani` ere informelle, l’´ egalit´ e de la proposition pr´ ec´ edente s’´ ecrit
t
0
H s (K s dM s ) =
t
0
H s K s dM s .
De mˆ eme la propri´ et´ e (5.2) s’´ ecrit
·
0
H s dM s , N
t
=
t
0
H s d
M, N
s
.
En appliquant deux fois cette relation on a aussi
·
0
H s dM s ,
·
0
K s dN s
t
=
t
0
H s K s d
M, N
s
.
En particulier,
·
0
H s dM s ,
·
0
H s dM s
t
=
t
0
H
2
s d
M, M
s
.
Formules de moments. Soient M ∈ H 2 , N ∈ H 2 , H ∈ L 2 (M) et K ∈ L 2 (N). Puisque
H · M et K · N sont des martingales de H 2 , on a, pour tout t ∈ [0, ∞],
E
t
0
H s dM s
= 0
(5.4)
E
t
0
H s dM s
t
0
K s dN s
= E
t
0
H s K s d
M, N
s
.
(5.5)
En particulier,
E
t
0
H s dM s
2
= E
t
0
H
2
s d
M, M
s
.
(5.6)
Par ailleurs, H · M ´
etant une vraie martingale, on a aussi, pour tous 0 ≤ s < t ≤ ∞,
E
t
0
H r dM r
F s
=
s
0
H r dM r
(5.7)
Il est important de remarquer que ces relations (et notamment (5.4) et (5.6)) ne
seront plus forc´ ement vraies pour les extensions de l’int´ egrale stochastique qui vont
ˆ
etre d´ ecrites ci-dessous.