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5 Int´ egrale stochastique
Si on se donne une suite (H n ) dans E , telle que H n → H dans L 2 (M), on a donc
H · M, N
∞
= lim
n→∞
H
n · M, N
∞
= lim
n→∞
(H
n ·
M, N
) ∞ = (H ·
M, N
) ∞ ,
o` u les convergences ont lieu dans L 1 et la derni` ere ´
egalit´ e d´ ecoule `
a nouveau de
l’in´ egalit´ e de Kunita-Watanabe, en ´
ecrivant
E
∞
0
(H
n
s − H s ) d
M, N
s
≤ E[
N, N
∞
]
1/2 H
n − H L 2 (M) .
En remplac ¸ant N par N t dans l’´ egalit´ e
H · M, N
∞
= (H ·
M, N
) ∞ on trouve
H · M, N
t
= (H ·
M, N
) t , ce qui termine la preuve de (5.2).
Il est facile de voir que la relation (5.2) caract´ erise H · M. En effet, si X est une
autre martingale de H 2 qui satisfait la mˆ eme propri´ et´ e, on a pour tout N ∈ H 2 ,
H · M − X, N
= 0
et en prenant N = H · M − X on trouve que X = H · M.
Il reste `
a v´ erifier la derni` ere propri´ et´ e. En utilisant les propri´ et´ es du crochet de
deux martingales, on remarque que, si N ∈ H 2 ,
(H · M)
T , N
t
=
H · M, N
t∧T
= (H ·
M, N
) t∧T = (1 [0,T ] H ·
M, N
) t
ce qui montre que la martingale arrˆ et´ ee (H · M) T v´ erifie la propri´ et´ e caract´ eristique
de l’int´ egrale (1 [0,T ] H) · M. On obtient ainsi la premi` ere ´
egalit´ e de (5.3). La preuve
de la seconde est analogue, en ´
ecrivant
H · M
T , N
= H ·
M
T , N
= H ·
M, N
T = 1 [0,T ] H ·
M, N
.
Cela termine la preuve du th´ eor` eme.
Remarque. On aurait pu utiliser la relation (5.2) pour d´ efinir l’int´ egrale stochastique H · M, en observant que l’application N → E[(H ·
M, N
) ∞ ] d´ efinit une forme
lin´ eaire continue sur H 2 , et donc qu’il existe un ´
el´ ement unique H · M de H 2 tel que
E[(H ·
M, N
) ∞ ] = (H · M, N) H 2 = E[
H · M, N
∞
].
La propri´ et´ e suivante d’associativit´ e de l’int´ egrale stochastique est tr` es utile.
Proposition 5.3. Si K ∈ L 2 (M) et H ∈ L 2 (K · M) alors HK ∈ L 2 (M) et
(HK) · M = H · (K · M).
D´ emonstration. D’apr` es le Th´ eor` eme 5.1, on a
K · M, K · M
= K ·
M, K · M
= K
2 ·
M, M
,
et donc