viii
Table des mati` eres
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1 D´ efinitions g´ en´ erales et probl` eme d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2 Semigroupes de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 La r´ egularit´ e des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4 La propri´ et´ e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.5 Deux classes importantes de processus de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5.1 Processus de L´ evy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5.2 Processus de branchement continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7 Equations diff´ erentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1 Motivation et d´ efinitions g´ en´ erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2 Le cas lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3 Les solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques comme
processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Quelques exemples d’´ equations diff´ erentielles stochastiques . . . . . . . 160
7.4.1 Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4.2 Le mouvement brownien g´ eom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4.3 Les processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Appendice A1. Lemme de classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Appendice A2. Martingales discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
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R ferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
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Table des mati` eres
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1 D´ efinitions g´ en´ erales et probl` eme d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2 Semigroupes de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 La r´ egularit´ e des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4 La propri´ et´ e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.5 Deux classes importantes de processus de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5.1 Processus de L´ evy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5.2 Processus de branchement continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7 Equations diff´ erentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1 Motivation et d´ efinitions g´ en´ erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2 Le cas lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3 Les solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques comme
processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Quelques exemples d’´ equations diff´ erentielles stochastiques . . . . . . . 160
7.4.1 Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4.2 Le mouvement brownien g´ eom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4.3 Les processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Appendice A1. Lemme de classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Appendice A2. Martingales discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
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R ferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
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