Table des mati` eres
1 Vecteurs et processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Rappels sur les variables gaussiennes en dimension un . . . . . . . . . . . 1
1.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espaces et processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Mesures gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Le pr´ e-mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 La continuit´ e des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Comportement des trajectoires du mouvement brownien . . . . . . . . . . 23
2.4 La propri´ et´ e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Filtrations et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Filtrations et processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Temps d’arrˆ et et tribus associ´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Martingales et surmartingales `
a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Th´ eor` emes d’arrˆ et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Semimartingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1 Processus `
a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Fonctions `
a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Processus `
a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Martingales locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Variation quadratique d’une martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Semimartingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Int´ egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Construction de l’int´ egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 La formule d’Itˆ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Le th´ eor` eme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
vii
5.5 Quelques applications du th´ eor` eme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1 Vecteurs et processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Rappels sur les variables gaussiennes en dimension un . . . . . . . . . . . 1
1.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espaces et processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Mesures gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Le pr´ e-mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 La continuit´ e des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Comportement des trajectoires du mouvement brownien . . . . . . . . . . 23
2.4 La propri´ et´ e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Filtrations et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Filtrations et processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Temps d’arrˆ et et tribus associ´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Martingales et surmartingales `
a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Th´ eor` emes d’arrˆ et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Semimartingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1 Processus `
a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Fonctions `
a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Processus `
a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Martingales locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Variation quadratique d’une martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Semimartingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Int´ egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Construction de l’int´ egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 La formule d’Itˆ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Quelques applications de la formule d’Itˆ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Le th´ eor` eme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
vii
5.5 Quelques applications du th´ eor` eme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . 110