stochastique par rapport à une semimartingale continue, la preuve dans ce cadre de la
célèbre formule d’Itô, et de nombreuses applications importantes (théorème de
caractérisation de Lévy, inégalités de Burkholder-Davis-Gundy, représentation des
martingales dans la filtration brownienne, théorème de Girsanov, formule de
Cameron-Martin, etc.). Les équations différentielles stochastiques, autre application
très importante de la théorie du calcul stochastique, qui motiva l’invention par Itô de
cette théorie, sont étudiées dans le Chapitre 7. Entre-temps, le Chapitre 6, qui
présente les grandes idées de la théorie des processus de Markov avec l’accent sur le
cas particulier des semigroupes de Feller, peut apparaître comme une digression à
notre propos principal. Cependant, la théorie développée dans le Chapitre 6, outre
qu’elle met en évidence des liens féconds avec la théorie des martingales, a le grand
avantage de s’appliquer aux solutions d’équations différentielles stochastiques, dont
les propriétés markoviennes jouent un rôle crucial dans nombre d’applications.
A la fin de chaque chapitre sont proposés un certain nombre d’exercices, dont la
résolution est vivement conseillée au lecteur. Ces exercices sont particulièrement
nombreux à la fin du Chapitre 5, car le calcul stochastique est d’abord une
technique, qu’on ne saurait assimiler sans traiter un nombre suffisant d’exemples
explicites. La grande majorité des exercices du présent ouvrage est issue soit des
textes d’examens de cours enseignés à l’Université Pierre et Marie Curie et à
l’Université Paris-Sud, soit des travaux dirigés assurés parallèlement à ces cours.
Le lecteur désireux d’aller plus loin dans la théorie et les applications du calcul
stochastique pourra consulter les ouvrages classiques de Karatzas et Shreve [5],
Revuz et Yor [9] et Rogers et Williams [10]. Pour une perspective historique sur le
développement de la théorie, voir les articles originaux d’Itô [4], et le petit livre de
McKean [6] qui contribua beaucoup à populariser ces travaux.
Je remercie Mylène Maïda pour son aide dans la mise au point et la compilation
des exercices. Merci aussi à Igor Kortchemski pour la simulation de mouvement
brownien qui illustre le Chapitre 2. Pour conclure, je tiens à remercier tout particulièrement Marc Yor, qui m’a appris l’essentiel de ce que je connais de la
théorie du calcul stochastique, et dont les nombreuses remarques m’ont aidé à
améliorer ce texte.
Orsay, France, Mai 2012
Jean-François Le Gall
vi
Préface
célèbre formule d’Itô, et de nombreuses applications importantes (théorème de
caractérisation de Lévy, inégalités de Burkholder-Davis-Gundy, représentation des
martingales dans la filtration brownienne, théorème de Girsanov, formule de
Cameron-Martin, etc.). Les équations différentielles stochastiques, autre application
très importante de la théorie du calcul stochastique, qui motiva l’invention par Itô de
cette théorie, sont étudiées dans le Chapitre 7. Entre-temps, le Chapitre 6, qui
présente les grandes idées de la théorie des processus de Markov avec l’accent sur le
cas particulier des semigroupes de Feller, peut apparaître comme une digression à
notre propos principal. Cependant, la théorie développée dans le Chapitre 6, outre
qu’elle met en évidence des liens féconds avec la théorie des martingales, a le grand
avantage de s’appliquer aux solutions d’équations différentielles stochastiques, dont
les propriétés markoviennes jouent un rôle crucial dans nombre d’applications.
A la fin de chaque chapitre sont proposés un certain nombre d’exercices, dont la
résolution est vivement conseillée au lecteur. Ces exercices sont particulièrement
nombreux à la fin du Chapitre 5, car le calcul stochastique est d’abord une
technique, qu’on ne saurait assimiler sans traiter un nombre suffisant d’exemples
explicites. La grande majorité des exercices du présent ouvrage est issue soit des
textes d’examens de cours enseignés à l’Université Pierre et Marie Curie et à
l’Université Paris-Sud, soit des travaux dirigés assurés parallèlement à ces cours.
Le lecteur désireux d’aller plus loin dans la théorie et les applications du calcul
stochastique pourra consulter les ouvrages classiques de Karatzas et Shreve [5],
Revuz et Yor [9] et Rogers et Williams [10]. Pour une perspective historique sur le
développement de la théorie, voir les articles originaux d’Itô [4], et le petit livre de
McKean [6] qui contribua beaucoup à populariser ces travaux.
Je remercie Mylène Maïda pour son aide dans la mise au point et la compilation
des exercices. Merci aussi à Igor Kortchemski pour la simulation de mouvement
brownien qui illustre le Chapitre 2. Pour conclure, je tiens à remercier tout particulièrement Marc Yor, qui m’a appris l’essentiel de ce que je connais de la
théorie du calcul stochastique, et dont les nombreuses remarques m’ont aidé à
améliorer ce texte.
Orsay, France, Mai 2012
Jean-François Le Gall
vi
Préface