J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_1,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 1
Vecteurs et processus gaussiens
R´ esum´ e Le principal objectif de ce chapitre est d’introduire les r´ esultats sur les
processus gaussiens et les mesures gaussiennes qui seront utilis´ es dans le chapitre
suivant pour construire le mouvement brownien.
1.1 Rappels sur les variables gaussiennes en dimension un
Dans toute la suite on se place sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P). Pour tout r´ eel
p ≥ 1, L p (Ω , F , P), ou simplement L p s’il n’y a pas d’ambigu¨ ıt´ e, d´ esigne l’espace
des variables al´ eatoires r´ eelles de puissance p-i` eme int´ egrable, muni de la norme
usuelle.
Une variable al´ eatoire r´ eelle X est dite gaussienne (ou normale) centr´ ee r´ eduite
si sa loi admet pour densit´ e
p X (x) =
1
√
2π
exp(−
x 2
2
).
La transform´ ee de Laplace complexe de X est alors donn´ ee par
E[e
zX ] = e
z 2 /2 ,
∀z ∈ C.
Pour obtenir cette formule (et aussi voir que la transform´ ee de Laplace complexe est
bien d´ efinie) on traite d’abord le cas o` u z = λ ∈ R :
E[e
λ X ] =
1
√
2π
R
e
λ x e
−x 2 /2 dx = e
λ 2 /2 1
√
2π
R
e
−(x−λ ) 2 /2 dx = e
λ 2 /2 .
Ce calcul assure que E[e zX ] est bien d´ efini pour tout z ∈ C et d´ efinit une fonction
analytique sur C. L’´ egalit´ e E[e zX ] = e z 2 /2 ´
etant vraie pour tout z ∈ R doit donc l’ˆ etre
aussi pour tout z ∈ C.
En prenant z = iξ , ξ ∈ R, on trouve la transform´ ee de Fourier de la loi de X :
1
Math¯matiques et Applications
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_1,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 1
Vecteurs et processus gaussiens
R´ esum´ e Le principal objectif de ce chapitre est d’introduire les r´ esultats sur les
processus gaussiens et les mesures gaussiennes qui seront utilis´ es dans le chapitre
suivant pour construire le mouvement brownien.
1.1 Rappels sur les variables gaussiennes en dimension un
Dans toute la suite on se place sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P). Pour tout r´ eel
p ≥ 1, L p (Ω , F , P), ou simplement L p s’il n’y a pas d’ambigu¨ ıt´ e, d´ esigne l’espace
des variables al´ eatoires r´ eelles de puissance p-i` eme int´ egrable, muni de la norme
usuelle.
Une variable al´ eatoire r´ eelle X est dite gaussienne (ou normale) centr´ ee r´ eduite
si sa loi admet pour densit´ e
p X (x) =
1
√
2π
exp(−
x 2
2
).
La transform´ ee de Laplace complexe de X est alors donn´ ee par
E[e
zX ] = e
z 2 /2 ,
∀z ∈ C.
Pour obtenir cette formule (et aussi voir que la transform´ ee de Laplace complexe est
bien d´ efinie) on traite d’abord le cas o` u z = λ ∈ R :
E[e
λ X ] =
1
√
2π
R
e
λ x e
−x 2 /2 dx = e
λ 2 /2 1
√
2π
R
e
−(x−λ ) 2 /2 dx = e
λ 2 /2 .
Ce calcul assure que E[e zX ] est bien d´ efini pour tout z ∈ C et d´ efinit une fonction
analytique sur C. L’´ egalit´ e E[e zX ] = e z 2 /2 ´
etant vraie pour tout z ∈ R doit donc l’ˆ etre
aussi pour tout z ∈ C.
En prenant z = iξ , ξ ∈ R, on trouve la transform´ ee de Fourier de la loi de X :
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Math¯matiques et Applications