5.1 Construction de l’int´ egrale stochastique
81
On note Prog la tribu progressive sur Ω × R + (voir la fin du paragraphe 3.1).
D´ efinition 5.2. Pour M ∈ H 2 , on note
L
2 (M) = L
2 (Ω × R + , Prog, dP d
M, M
s
)
l’espace des processus progressifs H tels que
E
∞
0
H
2
s d
M, M
s
< ∞.
Comme n’importe quel espace L 2 , l’espace L 2 (M) est un espace de Hilbert pour
le produit scalaire
(H, K) L 2 (M) = E
∞
0
H s K s d
M, M
s
.
D´ efinition 5.3. On note E le sous-espace vectoriel de L 2 (M) form´ e des processus
´
el´ ementaires, c’est-` a-dire des processus H de la forme
H s (ω) =
p−1
∑
i=0
H (i) (ω) 1 ]t i ,t i+1 ] (s),
o` u 0 = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < t p et pour chaque i ∈ {0, 1, . . . , p−1}, H (i) est une variable
F t i -mesurable et born´ ee.
Proposition 5.2. Pour tout M ∈ H 2 , E est dense dans L 2 (M).
D´ emonstration. Il suffit de montrer que si K ∈ L 2 (M) est orthogonal `
a E alors
K = 0. Supposons donc K orthogonal `
a E , et posons, pour tout t ≥ 0,
X t =
t
0
K u d
M, M
u
.
Le fait que cette int´ egrale soit (p.s.) absolument convergente d´ ecoule facilement de
l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz et des propri´ et´ es M ∈ H 2 , K ∈ L 2 (M). Cet argument
montre mˆ eme que X t ∈ L 1 .
Soient ensuite 0 ≤ s < t, soit F une variable F s -mesurable born´ ee et soit H ∈ E
d´ efini par H r (ω) = F(ω) 1 ]s,t] (r). En ´
ecrivant (H, K) L 2 (M) = 0, on trouve
E
F
t
s
K u d
M, M
u
= 0.
On a ainsi obtenu E[F(X t − X s )] = 0 pour tous s < t et toute variable F s -mesurable
F. Cela montre que X est une martingale. D’autre part, puisque X est aussi un processus `
a variation finie (d’apr` es la Proposition 4.2, et la remarque (i) suivant cette
proposition), cela n’est possible (Th´ eor` eme 4.1) que si X = 0. On a donc
t
0
K u d
M, M
u
= 0
∀t ≥ 0, p.s.
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On note Prog la tribu progressive sur Ω × R + (voir la fin du paragraphe 3.1).
D´ efinition 5.2. Pour M ∈ H 2 , on note
L
2 (M) = L
2 (Ω × R + , Prog, dP d
M, M
s
)
l’espace des processus progressifs H tels que
E
∞
0
H
2
s d
M, M
s
< ∞.
Comme n’importe quel espace L 2 , l’espace L 2 (M) est un espace de Hilbert pour
le produit scalaire
(H, K) L 2 (M) = E
∞
0
H s K s d
M, M
s
.
D´ efinition 5.3. On note E le sous-espace vectoriel de L 2 (M) form´ e des processus
´
el´ ementaires, c’est-` a-dire des processus H de la forme
H s (ω) =
p−1
∑
i=0
H (i) (ω) 1 ]t i ,t i+1 ] (s),
o` u 0 = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < t p et pour chaque i ∈ {0, 1, . . . , p−1}, H (i) est une variable
F t i -mesurable et born´ ee.
Proposition 5.2. Pour tout M ∈ H 2 , E est dense dans L 2 (M).
D´ emonstration. Il suffit de montrer que si K ∈ L 2 (M) est orthogonal `
a E alors
K = 0. Supposons donc K orthogonal `
a E , et posons, pour tout t ≥ 0,
X t =
t
0
K u d
M, M
u
.
Le fait que cette int´ egrale soit (p.s.) absolument convergente d´ ecoule facilement de
l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz et des propri´ et´ es M ∈ H 2 , K ∈ L 2 (M). Cet argument
montre mˆ eme que X t ∈ L 1 .
Soient ensuite 0 ≤ s < t, soit F une variable F s -mesurable born´ ee et soit H ∈ E
d´ efini par H r (ω) = F(ω) 1 ]s,t] (r). En ´
ecrivant (H, K) L 2 (M) = 0, on trouve
E
F
t
s
K u d
M, M
u
= 0.
On a ainsi obtenu E[F(X t − X s )] = 0 pour tous s < t et toute variable F s -mesurable
F. Cela montre que X est une martingale. D’autre part, puisque X est aussi un processus `
a variation finie (d’apr` es la Proposition 4.2, et la remarque (i) suivant cette
proposition), cela n’est possible (Th´ eor` eme 4.1) que si X = 0. On a donc
t
0
K u d
M, M
u
= 0
∀t ≥ 0, p.s.