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5 Int´ egrale stochastique
sym´ etrique sur H 2 par la formule
(M, N) H 2 = E[
M, N
∞
] = E[M ∞ N ∞ ].
Le Corollaire 4.1 montre aussi que (M, M) H 2 = 0 si et seulement si M = 0. La norme
sur H 2 associ´ ee au produit scalaire (M, N) H 2 est
M H 2 = (M, M)
1/2
H 2 = E[
M, M
∞
]
1/2 .
Proposition 5.1. L’espace H 2 muni du produit scalaire (M, N) H 2 est un espace de
Hilbert.
D´ emonstration. Il faut voir que H 2 est complet pour la norme H 2 . Soit donc
(M n ) une suite de Cauchy pour cette norme : d’apr` es le Th´ eor` eme 4.3, on a
lim
m,n→∞
E[(M
n
∞ − M
m
∞ )
2 ] = lim
m,n→∞
E[
M
n − M
m , M
n − M
m
∞
] = 0.
En particulier, la suite (M n
∞ ) converge dans L 2 vers une limite not´ ee M ∞ . L’in´ egalit´ e
de Doob dans L 2 (Proposition 3.8 (ii)), et un passage `
a la limite facile montrent que,
pour tous m, n,
E
sup
t≥0
(M
n
t − M
m
t )
2
≤ 4 E[(M
n
∞ − M
m
∞ )
2 ].
On obtient donc que
lim
m,n→∞
E
sup
t≥0
(M
n
t − M
m
t )
2
= 0.
(5.1)
Il est ensuite facile d’extraire une sous-suite (n k ) telle que
E
∞
∑
k=1
sup
t≥0
|M
n k
t − M
n k+1
t
|
≤
∞
∑
k=1
E
sup
t≥0
(M
n k
t − M
n k+1
t
)
2
1/2
< ∞.
On en d´ eduit que p.s.
∞
∑
k=1
sup
t≥0
|M
n k
t − M
n k+1
t
| < ∞,
et donc p.s. la suite (M n k ) t≥0 converge uniform´ ement sur R + vers une limite
not´ ee (M t ) t≥0 . Clairement le processus limite M a des trajectoires continues (on
se d´ ebarrasse facilement de l’ensemble de probabilit´ e nulle en prenant M ≡ 0 sur
cet ensemble). Puisque M
n k
t converge aussi dans L 2 vers M t , pour tout t ≥ 0 (car la
suite (M n
t ) est de Cauchy dans L 2 d’apr` es (5.1)) on voit imm´ ediatement en passant
`
a la limite dans l’´ egalit´ e M
n k
t = E[M
n k
∞ | F t ] que M t = E[M ∞ | F t ], et donc (M t ) t≥0
est une martingale born´ ee dans L 2 . Enfin,
lim
k→∞
E[
M
n k − M, M
n k − M
∞
] = lim
k→∞
E[(M
n k
∞ − M ∞ )
2 ] = 0,
ce qui montre que la sous-suite (M n k ), donc aussi la suite (M n ) converge vers M
dans H 2 .