J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_ ,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 5
Int´ egrale stochastique
R´ esum´ e Ce chapitre est au cœur du pr´ esent ouvrage. Dans un premier temps, nous
d´ efinissons l’int´ egrale stochastique par rapport `
a une (semi)martingale continue, en
consid´ erant d’abord l’int´ egrale des processus ´
el´ ementaires (qui jouent ici un rˆ ole
analogue aux fonctions en escalier dans la th´ eorie de l’int´ egrale de Riemann) puis
en utilisant un argument d’isom´ etrie entre espaces de Hilbert pour passer au cas
g´ en´ eral. Nous ´
etablissons ensuite la c´ el` ebre formule d’Itˆ o, qui est l’outil principal du calcul stochastique. Nous discutons plusieurs applications importantes de
la formule d’Itˆ o : th´ eor` eme de L´ evy caract´ erisant le mouvement brownien comme
martingale locale de variation quadratique t, in´ egalit´ es de Burkholder-Davis-Gundy,
repr´ esentation des martingales dans la filtration d’un mouvement brownien. La fin
du chapitre est consacr´ ee au th´ eor` eme de Girsanov, qui d´ ecrit la stabilit´ e des notions de martingales et de semimartingales par changement absolument continu de
probabilit´ e. En application du th´ eor` eme de Girsanov, nous ´
etablissons la c´ el` ebre
formule de Cameron-Martin donnant l’image de la mesure de Wiener par une translation par une fonction d´ eterministe. Sauf indication du contraire, les processus consid´ er´ es dans ce chapitre sont index´ es par R + et `
a valeurs r´ eelles.
5.1 Construction de l’int´ egrale stochastique
Dans tout ce chapitre on se place sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , (F t ), P) muni
d’une filtration compl` ete. On dira parfois “martingale continue” au lieu de “martingale `
a trajectoires continues”. Rappelons que par d´ efinition les martingales locales
ont des trajectoires continues.
D´ efinition 5.1. On note H 2 l’espace des martingales continues M born´ ees dans L 2
et telles que M 0 = 0, avec la convention que deux processus indistinguables sont
identifi´ es.
La Proposition 4.4 (v) montre que, si M, N ∈ H 2 la variable al´ eatoire
M, N
∞
est
bien d´ efinie et on a E[|
M, N
∞
|] < ∞. Cela permet de d´ efinir une forme bilin´ eaire
79
5
Math¯matiques et Applications
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_ ,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 5
Int´ egrale stochastique
R´ esum´ e Ce chapitre est au cœur du pr´ esent ouvrage. Dans un premier temps, nous
d´ efinissons l’int´ egrale stochastique par rapport `
a une (semi)martingale continue, en
consid´ erant d’abord l’int´ egrale des processus ´
el´ ementaires (qui jouent ici un rˆ ole
analogue aux fonctions en escalier dans la th´ eorie de l’int´ egrale de Riemann) puis
en utilisant un argument d’isom´ etrie entre espaces de Hilbert pour passer au cas
g´ en´ eral. Nous ´
etablissons ensuite la c´ el` ebre formule d’Itˆ o, qui est l’outil principal du calcul stochastique. Nous discutons plusieurs applications importantes de
la formule d’Itˆ o : th´ eor` eme de L´ evy caract´ erisant le mouvement brownien comme
martingale locale de variation quadratique t, in´ egalit´ es de Burkholder-Davis-Gundy,
repr´ esentation des martingales dans la filtration d’un mouvement brownien. La fin
du chapitre est consacr´ ee au th´ eor` eme de Girsanov, qui d´ ecrit la stabilit´ e des notions de martingales et de semimartingales par changement absolument continu de
probabilit´ e. En application du th´ eor` eme de Girsanov, nous ´
etablissons la c´ el` ebre
formule de Cameron-Martin donnant l’image de la mesure de Wiener par une translation par une fonction d´ eterministe. Sauf indication du contraire, les processus consid´ er´ es dans ce chapitre sont index´ es par R + et `
a valeurs r´ eelles.
5.1 Construction de l’int´ egrale stochastique
Dans tout ce chapitre on se place sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , (F t ), P) muni
d’une filtration compl` ete. On dira parfois “martingale continue” au lieu de “martingale `
a trajectoires continues”. Rappelons que par d´ efinition les martingales locales
ont des trajectoires continues.
D´ efinition 5.1. On note H 2 l’espace des martingales continues M born´ ees dans L 2
et telles que M 0 = 0, avec la convention que deux processus indistinguables sont
identifi´ es.
La Proposition 4.4 (v) montre que, si M, N ∈ H 2 la variable al´ eatoire
M, N
∞
est
bien d´ efinie et on a E[|
M, N
∞
|] < ∞. Cela permet de d´ efinir une forme bilin´ eaire
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