76
4 Exercices
3. Soit M une (vraie) martingale `
a trajectoires continues, born´ ee dans L 2 , telle que
M 0 = 0, et soit M ∞ la limite presque sˆ ure de M t quand t → ∞. Montrer que les
hypoth` eses de la question 1. sont satisfaites lorsque A t = M, M t et Z = M 2
∞ . En
d´ eduire que, pour tout r´ eel q ≥ 1,
E[(M, M ∞ )
q+1 ] ≤ (q + 1) E[(M, M ∞ )
q M
2
∞ ].
4. Soit p ≥ 2 un r´ eel tel que E[(M, M ∞ ) p ] < ∞. Montrer que
E[(M, M ∞ )
p ] ≤ p
p E[|M ∞ |
2p ].
5. Soit N une martingale locale telle que N 0 = 0, et soit T un temps d’arrˆ et tel que
la martingale arrˆ et´ ee N T soit uniform´ ement int´ egrable. Montrer que, pour tout r´ eel
p ≥ 2,
E[(N, N T )
p ] ≤ p
p E[|N T |
2p ].
Donner un exemple montrant que ce r´ esultat peut ˆ
etre faux si N T n’est pas uniform´ ement int´ egrable.
Exercice 4.6. Soit (X t ) t≥0 un processus adapt´ e, `
a trajectoires continues et `
a valeurs
positives ou nulles. Soit (A t ) t≥0 un processus croissant (` a trajectoires continues,
adapt´ e, tel que A 0 = 0). On consid` ere la condition suivante :
(D) Pour tout temps d’arrˆ et born´ e T , on a E[X T ] ≤ E[A T ].
1. Montrer que si M est une (vraie) martingale `
a trajectoires continues et de
carr´ e int´ egrable, et M 0 = 0, alors la condition (D) est satisfaite par X t = M 2
t et
A t = M, M t .
2. Montrer que la conclusion de la question pr´ ec´ edente reste vraie si on suppose
seulement que M est une martingale locale issue de 0.
3. On note X ∗
t = sup s≤t X s . Montrer que sous la condition (D) on a pour tout temps
d’arrˆ et born´ e S et tout c > 0 :
P[X
∗
S ≥ c] ≤
1
c
E[A S ].
(on pourra appliquer l’in´ egalit´ e (D) `
a T = S ∧ R, avec R = inf{t ≥ 0 : X t ≥ c}).
4. En d´ eduire, toujours sous la condition (D), que, pour tout temps d’arrˆ et S (fini ou
pas),
P[X
∗
S > c] ≤
1
c
E[A S ]
(lorsque S prend la valeur ∞, on prend bien entendu X ∗
∞ = sup s≥0 X s ).
5. Soient c > 0 et d > 0, et S = inf{t ≥ 0 : A t ≥ d}. Soit aussi T un temps d’arrˆ et.
En remarquant que
{X
∗
T > c} ⊂
{X
∗
T ∧S > c} ∪ {A T ≥ d}
montrer que, sous la condition (D), on a
4 Exercices
3. Soit M une (vraie) martingale `
a trajectoires continues, born´ ee dans L 2 , telle que
M 0 = 0, et soit M ∞ la limite presque sˆ ure de M t quand t → ∞. Montrer que les
hypoth` eses de la question 1. sont satisfaites lorsque A t = M, M t et Z = M 2
∞ . En
d´ eduire que, pour tout r´ eel q ≥ 1,
E[(M, M ∞ )
q+1 ] ≤ (q + 1) E[(M, M ∞ )
q M
2
∞ ].
4. Soit p ≥ 2 un r´ eel tel que E[(M, M ∞ ) p ] < ∞. Montrer que
E[(M, M ∞ )
p ] ≤ p
p E[|M ∞ |
2p ].
5. Soit N une martingale locale telle que N 0 = 0, et soit T un temps d’arrˆ et tel que
la martingale arrˆ et´ ee N T soit uniform´ ement int´ egrable. Montrer que, pour tout r´ eel
p ≥ 2,
E[(N, N T )
p ] ≤ p
p E[|N T |
2p ].
Donner un exemple montrant que ce r´ esultat peut ˆ
etre faux si N T n’est pas uniform´ ement int´ egrable.
Exercice 4.6. Soit (X t ) t≥0 un processus adapt´ e, `
a trajectoires continues et `
a valeurs
positives ou nulles. Soit (A t ) t≥0 un processus croissant (` a trajectoires continues,
adapt´ e, tel que A 0 = 0). On consid` ere la condition suivante :
(D) Pour tout temps d’arrˆ et born´ e T , on a E[X T ] ≤ E[A T ].
1. Montrer que si M est une (vraie) martingale `
a trajectoires continues et de
carr´ e int´ egrable, et M 0 = 0, alors la condition (D) est satisfaite par X t = M 2
t et
A t = M, M t .
2. Montrer que la conclusion de la question pr´ ec´ edente reste vraie si on suppose
seulement que M est une martingale locale issue de 0.
3. On note X ∗
t = sup s≤t X s . Montrer que sous la condition (D) on a pour tout temps
d’arrˆ et born´ e S et tout c > 0 :
P[X
∗
S ≥ c] ≤
1
c
E[A S ].
(on pourra appliquer l’in´ egalit´ e (D) `
a T = S ∧ R, avec R = inf{t ≥ 0 : X t ≥ c}).
4. En d´ eduire, toujours sous la condition (D), que, pour tout temps d’arrˆ et S (fini ou
pas),
P[X
∗
S > c] ≤
1
c
E[A S ]
(lorsque S prend la valeur ∞, on prend bien entendu X ∗
∞ = sup s≥0 X s ).
5. Soient c > 0 et d > 0, et S = inf{t ≥ 0 : A t ≥ d}. Soit aussi T un temps d’arrˆ et.
En remarquant que
{X
∗
T > c} ⊂
{X
∗
T ∧S > c} ∪ {A T ≥ d}
montrer que, sous la condition (D), on a