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4 Exercices
p n
∑
i=1
(A t n
i
− A t n
i−1
)
2 ≤
sup
1≤i≤p n
|A t n
i
− A t n
i−1
|
p n
∑
i=1
|A t n
i
− A t n
i−1
|
≤
t
0
|dA s |
sup
1≤i≤p n
|A t n
i
− A t n
i−1
|,
qui tend vers 0 p.s. quand n → ∞ par continuit´ e de la fonction s → A s . Le mˆ eme
raisonnement montre que
p n
∑
i=1
(A t n
i
− A t n
i−1
)(M t n
i
− M t n
i−1
)
≤
t
0
|dA s |
sup
1≤i≤p n
|M t n
i
− M t n
i−1
|
tend vers 0 p.s.
Exercices
Dans les exercices qui suivent, on se place sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P)
muni d’une filtration compl` ete (F t ) t∈[0,∞] .
Exercice 4.1. Soit U une variable al´ eatoire r´ eelle F 0 -mesurable, et soit M une martingale locale. Montrer que le processus N t = UM t est encore une martingale locale.
(Ce r´ esultat a ´
et´ e utilis´ e dans la construction de la variation quadratique d’une
martingale locale.)
Exercice 4.2. 1. Soit M une (vraie) martingale `
a trajectoires continues issue de M 0 =
0. On suppose que (M t ) t≥0 est aussi un processus gaussien. Montrer alors que pour
tout t ≥ 0 et tout s > 0, la variable al´ eatoire M t+s −M t est ind´ ependante de σ (M r , 0 ≤
r ≤ t).
2. Sous les hypoth` eses de la question 1., montrer qu’il existe une fonction croissante
continue f : R + → R + telle que M, M t = f (t) pour tout t ≥ 0.
Exercice 4.3. Soit M une martingale locale issue de 0.
1. Pour tout entier n ≥ 1, on pose T n = inf{t ≥ 0 : |M t | = n}. Montrer que p.s.
lim
t→∞
M t existe et est finie
=
∞
n=1
{T n = ∞} ⊂ {{M, M ∞ < ∞}.
2. On pose S n = inf{t ≥ 0 : M, M t = n} pour tout entier n ≥ 1. Montrer qu’on a
aussi p.s.
{{M, M ∞ < ∞} =
∞
n=1
{S n = ∞} ⊂
lim
t→∞
M t existe et est finie
,
et conclure que