4.4 Semimartingales continues
73
=
h(s)
2 d
M, M
s
1/2
k(s)
2 d
N, N
s
1/2
,
ce qui donne l’in´ egalit´ e voulue pour des fonctions ´
etag´ ees. Il ne reste qu’` a ´
ecrire
une fonction mesurable positive quelconque comme limite croissante de fonctions
´
etag´ ees.
4.4 Semimartingales continues
D´ efinition 4.5. Un processus X = (X t ) t≥0 est une semimartingale continue s’il
s’´ ecrit sous la forme
X t = M t + A t ,
o` u M est une martingale locale et A est un processus `
a variation finie.
La d´ ecomposition ci-dessus est unique `
a indistinguabilit´ e pr` es, toujours `
a cause
du Th´ eor` eme 4.1.
Si Y t = M
t + A
t est une autre semimartingale continue on pose par d´ efinition
X,Y
t
=
M, M
t
.
En particulier,
X, X
t
=
M, M
t
.
Proposition 4.6. Soit 0 = t n
0 < t n
1 < · · · < t n
p n = t une suite de subdivisions emboˆ ıt´ ees
de [0,t] de pas tendant vers 0. Alors,
lim
n→∞
p n
∑
i=1
(X t n
i
− X t n
i−1
)(Y t n
i
−Y t n
i−1
) =
X,Y
t
en probabilit´ e.
D´ emonstration. Pour simplifier, traitons seulement le cas o` u X = Y . Alors,
p n
∑
i=1
(X t n
i
− X t n
i−1
)
2 =
p n
∑
i=1
(M t n
i
− M t n
i−1
)
2 +
p n
∑
i=1
(A t n
i
− A t n
i−1
)
2
+2
p n
∑
i=1
(M t n
i
− M t n
i−1
)(A t n
i
− A t n
i−1
).
On sait d´ ej` a (Th´ eor` eme 4.2) que
lim
n→∞
p n
∑
i=1
(M t n
i
− M t n
i−1
)
2 =
M, M
t
=
X, X
t
,
en probabilit´ e. D’autre part,