72
4 Semimartingales continues
∞
0
|H s | |K s | |d
M, N
s
| ≤
∞
0
H
2
s d
M, M
s
1/2 ∞
0
K
2
s d
N, N
s
1/2
.
D´ emonstration. Notons
M, N
t
s
=
M, N
t
−
M, N
s
pour s ≤ t. On commence
par remarquer que p.s. pour tous s < t rationnels (donc aussi par continuit´ e pour
tous s < t) on a
|
M, N
t
s
| ≤
M, M
t
s
N, N
t
s
.
En effet, cela d´ ecoule imm´ ediatement des approximations de
M, M
et
M, N
donn´ ees dans le Th´ eor` eme 4.2 et la Proposition 4.4 respectivement, ainsi que de
l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz. A partir de maintenant, on fixe ω tel que l’in´ egalit´ e
pr´ ec´ edente soit vraie pour tous s < t, et on raisonne sur cette valeur de ω. On remarque d’abord qu’on a aussi
t
s
|d
M, N
u
| ≤
M, M
t
s
N, N
t
s
.
(4.4)
En effet, il suffit d’utiliser la Proposition 4.1 et de majorer, pour toute subdivision
s = t 0 < t 1 < · · · < t p = t,
p
∑
i=1
|
M, N
t i
t i−1
| ≤
p
∑
i=1
M, M
t i
t i−1
N, N
t i
t i−1
≤
p
∑
i=1
M, M
t i
t i−1
1/2 p
∑
i=1
N, N
t i
t i−1
1/2
=
M, M
t
s
N, N
t
s
On peut g´ en´ eraliser et obtenir, pour toute partie bor´ elienne born´ ee A de R + ,
A
|d
M, N
u
| ≤
A
d
M, M
u
A
d
N, N
u
.
Soient h = ∑ λ i 1 A i et k = ∑ µ i 1 A i deux fonctions ´
etag´ ees positives. Alors,
h(s)k(s)|d
M, N
s
| = ∑ λ i µ i
A i
|d
M, N
s
|
≤
∑ λ
2
i
A i
d
M, M
s
1/2
∑ µ
2
i
A i
d
N, N
s
1/2
Lorsque A=[s, t], c’est l’inégalité (4.4). Si A est une réunion finie d’intervalles, cela
découle de (4.4) et d’une nouvelle application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Un
argument de classe monotone montre alors que cette inégalité est vraie pour toute
partie borélienne bornée (on utilise ici une version du lemme de classe monotone
différente de celle de l’Appendice A1 : précisément, la plus petite classe stable par réunion croissante et intersection décroissante dénombrables, et contenant
une algèbre de parties, contient aussi la tribu engendrée par cette algèbre – voir le
premier chapitre de [7]).
4 Semimartingales continues
∞
0
|H s | |K s | |d
M, N
s
| ≤
∞
0
H
2
s d
M, M
s
1/2 ∞
0
K
2
s d
N, N
s
1/2
.
D´ emonstration. Notons
M, N
t
s
=
M, N
t
−
M, N
s
pour s ≤ t. On commence
par remarquer que p.s. pour tous s < t rationnels (donc aussi par continuit´ e pour
tous s < t) on a
|
M, N
t
s
| ≤
M, M
t
s
N, N
t
s
.
En effet, cela d´ ecoule imm´ ediatement des approximations de
M, M
et
M, N
donn´ ees dans le Th´ eor` eme 4.2 et la Proposition 4.4 respectivement, ainsi que de
l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz. A partir de maintenant, on fixe ω tel que l’in´ egalit´ e
pr´ ec´ edente soit vraie pour tous s < t, et on raisonne sur cette valeur de ω. On remarque d’abord qu’on a aussi
t
s
|d
M, N
u
| ≤
M, M
t
s
N, N
t
s
.
(4.4)
En effet, il suffit d’utiliser la Proposition 4.1 et de majorer, pour toute subdivision
s = t 0 < t 1 < · · · < t p = t,
p
∑
i=1
|
M, N
t i
t i−1
| ≤
p
∑
i=1
M, M
t i
t i−1
N, N
t i
t i−1
≤
p
∑
i=1
M, M
t i
t i−1
1/2 p
∑
i=1
N, N
t i
t i−1
1/2
=
M, M
t
s
N, N
t
s
On peut g´ en´ eraliser et obtenir, pour toute partie bor´ elienne born´ ee A de R + ,
A
|d
M, N
u
| ≤
A
d
M, M
u
A
d
N, N
u
.
Soient h = ∑ λ i 1 A i et k = ∑ µ i 1 A i deux fonctions ´
etag´ ees positives. Alors,
h(s)k(s)|d
M, N
s
| = ∑ λ i µ i
A i
|d
M, N
s
|
≤
∑ λ
2
i
A i
d
M, M
s
1/2
∑ µ
2
i
A i
d
N, N
s
1/2
Lorsque A=[s, t], c’est l’inégalité (4.4). Si A est une réunion finie d’intervalles, cela
découle de (4.4) et d’une nouvelle application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Un
argument de classe monotone montre alors que cette inégalité est vraie pour toute
partie borélienne bornée (on utilise ici une version du lemme de classe monotone
différente de celle de l’Appendice A1 : précisément, la plus petite classe stable par réunion croissante et intersection décroissante dénombrables, et contenant
une algèbre de parties, contient aussi la tribu engendrée par cette algèbre – voir le
premier chapitre de [7]).