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4 Semimartingales continues
E[M, M t∧T n ] = E[M
2
t∧T n ] ≤ E
sup
s≥0
M
2
s
.
En faisait tendre d’abord n, puis t vers ∞, on obtient par convergence monotone que
E[M, M ∞ ] ≤ E
sup
s≥0
M
2
s
< ∞.
Inversement supposons que E[M, M ∞ ] < ∞. Consid´ erons comme ci-dessus une
suite de temps d’arrˆ et (T n ) qui r´ eduit la martingale locale M 2 − −M, M, et posons
pour tout n,
S n = T n ∧ inf{t ≥ 0 : |M t | ≥ n}.
de sorte que (S n ) r´ eduit aussi M 2 − −M, M, et les martingales locales arˆ et´ ees M S n
sont born´ ees. Comme dans la premi` ere partie de la preuve, on obtient l’´ egalit´ e
E[M
2
t∧S n ] = E[M, M t∧S n ] ≤ E[M, M ∞ ] < ∞.
D’apr` es le lemme de Fatou, cela entraˆ ıne aussi E[M 2
t ] ≤ E[M, M ∞ ] pour tout t ≥ 0,
et donc la famille (M t ) t≥0 est born´ ee dans L 2 . Par ailleurs, pour t fix´ e, l’in´ egalit´ e
pr´ ec´ edente montre aussi que la suite (M t∧S n ) est born´ ee dans L 2 , donc uniform´ ement
int´ egrable. Il en d´ ecoule que cette suite converge dans L 1 vers M t quand n → ∞. Cela
permet de passer `
a la limite dans l’´ egalit´ e
E[M t∧S n | F s ] = M s∧S n
(pour s < t)
et d’obtenir
E[M t | F s ] = M s
ce qui montre que M est une vraie martingale, born´ ee dans L 2 d’apr` es ce qui pr´ ec` ede.
Enfin, si les propri´ et´ es (a) et/ou (b) sont satisfaites, la martingale locale M 2 −
M, M est domin´ ee par la variable int´ egrable
sup
t≥0
M
2
t + M, M ∞
et est donc (Proposition 4.3 (ii)) une vraie martingale uniform´ ement int´ egrable.
(ii) Il suffit d’appliquer (i) `
a (M t∧a ) t≥0 pour tout choix de a ≥ 0.
Corollaire 4.1. Soit M une martingale locale telle que M 0 = 0. Alors on a
M, M
t
=
0 p.s. pour tout t ≥ 0 si et seulement si M est indistinguable de 0.
D´ emonstration. Supposons
M, M
t
= 0 p.s. pour tout t ≥ 0. D’apr` es la partie (i) du
th´ eor` eme ci-dessus, M 2
t est une martingale uniform´ ement int´ egrable, d’o` u E[M 2
t ] =
E[M 2
0 ] = 0.
Crochet de deux martingales locales. Si M et N sont deux martingales locales, on
pose
M, N
t
=
1
2
(
M + N, M + N
t
−
M, M
t
−
N, N
t
).
4 Semimartingales continues
E[M, M t∧T n ] = E[M
2
t∧T n ] ≤ E
sup
s≥0
M
2
s
.
En faisait tendre d’abord n, puis t vers ∞, on obtient par convergence monotone que
E[M, M ∞ ] ≤ E
sup
s≥0
M
2
s
< ∞.
Inversement supposons que E[M, M ∞ ] < ∞. Consid´ erons comme ci-dessus une
suite de temps d’arrˆ et (T n ) qui r´ eduit la martingale locale M 2 − −M, M, et posons
pour tout n,
S n = T n ∧ inf{t ≥ 0 : |M t | ≥ n}.
de sorte que (S n ) r´ eduit aussi M 2 − −M, M, et les martingales locales arˆ et´ ees M S n
sont born´ ees. Comme dans la premi` ere partie de la preuve, on obtient l’´ egalit´ e
E[M
2
t∧S n ] = E[M, M t∧S n ] ≤ E[M, M ∞ ] < ∞.
D’apr` es le lemme de Fatou, cela entraˆ ıne aussi E[M 2
t ] ≤ E[M, M ∞ ] pour tout t ≥ 0,
et donc la famille (M t ) t≥0 est born´ ee dans L 2 . Par ailleurs, pour t fix´ e, l’in´ egalit´ e
pr´ ec´ edente montre aussi que la suite (M t∧S n ) est born´ ee dans L 2 , donc uniform´ ement
int´ egrable. Il en d´ ecoule que cette suite converge dans L 1 vers M t quand n → ∞. Cela
permet de passer `
a la limite dans l’´ egalit´ e
E[M t∧S n | F s ] = M s∧S n
(pour s < t)
et d’obtenir
E[M t | F s ] = M s
ce qui montre que M est une vraie martingale, born´ ee dans L 2 d’apr` es ce qui pr´ ec` ede.
Enfin, si les propri´ et´ es (a) et/ou (b) sont satisfaites, la martingale locale M 2 −
M, M est domin´ ee par la variable int´ egrable
sup
t≥0
M
2
t + M, M ∞
et est donc (Proposition 4.3 (ii)) une vraie martingale uniform´ ement int´ egrable.
(ii) Il suffit d’appliquer (i) `
a (M t∧a ) t≥0 pour tout choix de a ≥ 0.
Corollaire 4.1. Soit M une martingale locale telle que M 0 = 0. Alors on a
M, M
t
=
0 p.s. pour tout t ≥ 0 si et seulement si M est indistinguable de 0.
D´ emonstration. Supposons
M, M
t
= 0 p.s. pour tout t ≥ 0. D’apr` es la partie (i) du
th´ eor` eme ci-dessus, M 2
t est une martingale uniform´ ement int´ egrable, d’o` u E[M 2
t ] =
E[M 2
0 ] = 0.
Crochet de deux martingales locales. Si M et N sont deux martingales locales, on
pose
M, N
t
=
1
2
(
M + N, M + N
t
−
M, M
t
−
N, N
t
).