4.3 Variation quadratique d’une martingale locale
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vers ∞ en observant que, pour tout T > 0, P[T ≤ T n ] converge vers 1 quand n → ∞.
Propri´ et´ e. Si T est un temps d’arrˆ et on a p.s. pour tout t ≥ 0,
M
T , M
T
t
=
M, M
t∧T.
Cela d´ ecoule du fait que M 2
t∧T −
M, M
t∧T
est une martingale locale comme
martingale locale arrˆ et´ ee (cf. propri´ et´ e (c) des martingales locales).
Nous ´
enonc ¸ons maintenant un th´ eor` eme qui montre comment les propri´ et´ es
d’une martingale locale sont li´ ees `
a celles de sa variation quadratique. Si A est un
processus croissant, A ∞ d´ esigne de mani` ere ´
evidente la limite croissante de A t quand
t → ∞ (cette limite existe toujours dans [0, ∞]).
Th´ eor` eme 4.3. Soit M une martingale locale avec M 0 = 0.
(i) Il y a ´
equivalence entre :
(a) M est une (vraie) martingale born´ ee dans L 2 .
(b) E[
M, M
∞
] < ∞.
De plus si ces conditions sont satisfaites, le processus M 2
t −
M, M
t
est une (vraie)
martingale uniform´ ement int´ egrable, et en particulier E[M 2
∞ ] = E[M, M ∞ ].
(ii) Il y a ´
equivalence entre :
(a) M est une (vraie) martingale de carr´ e int´ egrable (E[M 2
t ] < ∞ pour tout
t ≥ 0).
(b) E[
M, M
t
] < ∞ pour tout t ≥ 0.
De plus si ces conditions sont satisfaites, M 2
t −
M, M
t
est une martingale.
Remarque. Dans la propri´ et´ e (a) de (i) (ou de (ii)), il est essentiel de supposer que
M est une martingale, et pas seulement une martingale locale. L’in´ egalit´ e de Doob
utilis´ ee dans la preuve suivante n’est pas valable pour une martingale locale!
D´ emonstration. (i) Supposons d’abord que M est une martingale born´ ee dans L 2 .
L’in´ egalit´ e de Doob dans L 2 (Proposition 3.8 (ii)) montre que, pour tout T > 0,
E
sup
0≤t≤T
M
2
t
≤ 4 E[M
2
T ].
En faisant tendre T vers ∞, on a
E
sup
t≥0
M
2
t
≤ 4 sup
t≥0
E[M
2
t ] < ∞.
Soit (T n ) une suite de temps d’arrˆ et qui r´ eduit la martingale locale M 2 − −M, M.
Alors, pour tout t ≥ 0, la variable M 2
t∧T n
− −M, M t∧T n est int´ egrable et v´ erifie
E[M
2
t∧T n − −M, M t∧T n ] = 0.
Puisque M 2
t∧T n
, qui est domin´ ee par sup s≥0 M 2
s , est aussi int´ egrable, on a
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vers ∞ en observant que, pour tout T > 0, P[T ≤ T n ] converge vers 1 quand n → ∞.
Propri´ et´ e. Si T est un temps d’arrˆ et on a p.s. pour tout t ≥ 0,
M
T , M
T
t
=
M, M
t∧T.
Cela d´ ecoule du fait que M 2
t∧T −
M, M
t∧T
est une martingale locale comme
martingale locale arrˆ et´ ee (cf. propri´ et´ e (c) des martingales locales).
Nous ´
enonc ¸ons maintenant un th´ eor` eme qui montre comment les propri´ et´ es
d’une martingale locale sont li´ ees `
a celles de sa variation quadratique. Si A est un
processus croissant, A ∞ d´ esigne de mani` ere ´
evidente la limite croissante de A t quand
t → ∞ (cette limite existe toujours dans [0, ∞]).
Th´ eor` eme 4.3. Soit M une martingale locale avec M 0 = 0.
(i) Il y a ´
equivalence entre :
(a) M est une (vraie) martingale born´ ee dans L 2 .
(b) E[
M, M
∞
] < ∞.
De plus si ces conditions sont satisfaites, le processus M 2
t −
M, M
t
est une (vraie)
martingale uniform´ ement int´ egrable, et en particulier E[M 2
∞ ] = E[M, M ∞ ].
(ii) Il y a ´
equivalence entre :
(a) M est une (vraie) martingale de carr´ e int´ egrable (E[M 2
t ] < ∞ pour tout
t ≥ 0).
(b) E[
M, M
t
] < ∞ pour tout t ≥ 0.
De plus si ces conditions sont satisfaites, M 2
t −
M, M
t
est une martingale.
Remarque. Dans la propri´ et´ e (a) de (i) (ou de (ii)), il est essentiel de supposer que
M est une martingale, et pas seulement une martingale locale. L’in´ egalit´ e de Doob
utilis´ ee dans la preuve suivante n’est pas valable pour une martingale locale!
D´ emonstration. (i) Supposons d’abord que M est une martingale born´ ee dans L 2 .
L’in´ egalit´ e de Doob dans L 2 (Proposition 3.8 (ii)) montre que, pour tout T > 0,
E
sup
0≤t≤T
M
2
t
≤ 4 E[M
2
T ].
En faisant tendre T vers ∞, on a
E
sup
t≥0
M
2
t
≤ 4 sup
t≥0
E[M
2
t ] < ∞.
Soit (T n ) une suite de temps d’arrˆ et qui r´ eduit la martingale locale M 2 − −M, M.
Alors, pour tout t ≥ 0, la variable M 2
t∧T n
− −M, M t∧T n est int´ egrable et v´ erifie
E[M
2
t∧T n − −M, M t∧T n ] = 0.
Puisque M 2
t∧T n
, qui est domin´ ee par sup s≥0 M 2
s , est aussi int´ egrable, on a