4.3 Variation quadratique d’une martingale locale
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Pour terminer la preuve du lemme, il suffit donc de montrer l’existence d’une constante C telle que, pour tout m,
E
∑
1≤ j≤p m
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2
2
≤ C.
(4.3)
Notons K une constante telle que |M t | ≤ K pour tout t ≥ 0. En d´ eveloppant le carr´ e
et en utilisant (deux fois) la Proposition 3.7,
E
∑
1≤ j≤p m
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2
2
= E
∑
1≤ j≤p m
(M t m
j
− M t m
j−1
)
4
+ 2E
∑
1≤ j (M t m
j
− M t m
j−1
)
2 (M t m
k
− M t m
k−1
)
2
≤ 4K
2 E
∑
1≤ j≤p m
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2
+2
p m −1
∑
j=1
E
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2 E
p m
∑
k= j+1
(M t m
k
− M t m
k−1
)
2
F t m
j
= 4K
2 E
∑
1≤ j≤p m
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2
+2
p m −1
∑
j=1
E
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2 E[(M T − M t m
j
)
2 | F t m
j
]
≤ 12K
2 E
∑
1≤ j≤p m
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2
= 12K
2 E[(M T − M 0 )
2 ]
≤ 48K
4
ce qui donne bien la majoration (4.3) avec C = 48K 4 . Cela termine la preuve.
Nous revenons maintenant `
a la preuve du th´ eor` eme. Via l’in´ egalit´ e de Doob dans
L 2 (Proposition 3.8 (ii)), le Lemme 4.2 entraˆ ıne que
lim
n,m→∞
E
sup
t≤T
(X
n
t − X
m
t )
2
= 0.
On peut donc trouver une suite strictement croissante (n k ) k≥1 telle que, pour tout
k ≥ 1,
E
sup
t≤T
(X
n k+1
t
− X
n k
t )
2
≤ 2
−k .
Il en d´ ecoule que
E
∞
∑
k=1
sup
t≤T
|X
n k+1
t
− X
n k
t |
< ∞
et donc