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4 Semimartingales continues
M t n
i
− M t n
i−1
= ∑
k:i n,m (k)=i
(M t m
k
− M t m
k−1
)
et observer qu’on a si k = j,
E[M t n
i−1
(M t m
k
− M t m
k−1
) M t m
j−1
(M t m
j
− M t m
j−1
)] = 0
(conditionner par rapport `
a F t m
k−1
si k > j et par rapport `
a F t m
j−1
si k < j). Il ne reste
donc que le cas k = j `
a consid´ erer, et on a obtenu
E[X
n
T X
m
T ] =
∑
1≤ j≤p m , i=i n,m ( j)
E[M t n
i−1
M t m
j−1
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2 ].
En remplac ¸ant n par m on a
E[(X
m
T )
2 ] = ∑
1≤ j≤p m
E[M
2
t m
j−1
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2 ].
On a donc aussi, en utilisant la Proposition 3.7 `
a la troisi` eme ´
egalit´ e,
E[(X
n
T )
2 ] = ∑
1≤i≤p n
E[M
2
t n
i−1
(M t n
i
− M t n
i−1
)
2 ]
= ∑
1≤i≤p n
E[M
2
t n
i−1
E[(M t n
i
− M t n
i−1
)
2 | F t n
i−1
]]
= ∑
1≤i≤p n
E
M
2
t n
i−1
∑
j:i n,m ( j)=i
E[(M t m
j
− M t m
j−1
)
2 | F t n
i−1
]
=
∑
1≤ j≤p m , i=i n,m ( j)
E[M
2
t n
i−1
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2 ]
En combinant les trois identit´ es obtenues, on trouve
E[(X
n
T − X
m
T )
2 ] = E
∑
1≤ j≤p m , i=i n,m ( j)
(M t n
i−1
− M t m
j−1
)
2 (M t m
j
− M t m
j−1
)
2
.
En utilisant l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz, il vient
E[(X
n
T − X
m
T )
2 ] ≤ E
sup
1≤ j≤p m , i=i n,m ( j)
(M t n
i−1
− M t m
j−1
)
4
1/2
× E
∑
1≤ j≤p m
(M t m
j
− M t m
j−1
)
2
2 1/2
.
La continuit´ e des trajectoires assure, par convergence domin´ ee, que
lim
n,m→∞, n≤m
E
sup
1≤ j≤p m , i=i n,m ( j)
(M t n
i−1
− M t m
j−1
)
4
= 0.