4.2 Martingales locales
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D´ emonstration. (i) Ecrivons M t = M 0 + N t . Par d´ efinition, il existe une suite (T n )
de temps d’arrˆ et qui r´ eduit N. Alors, si s ≤ t, on a pour tout n,
N s∧T n = E[N t∧T n | F s ].
M s∧T n = E[M t∧T n | F s ].
(4.1)
Puisque M est `
a valeurs positives, on peut faire tendre n vers ∞ et appliquer le lemme
de Fatou (pour les esp´ erances conditionnelles) qui donne
M s ≥ E[M t | F s ].
En prenant s = 0, on voit que E[M t ] ≤ E[M 0 ] < ∞, donc M t ∈ L 1 pour tout t ≥ 0.
L’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente montre alors que M est une surmartingale.
(ii) Si M est born´ ee (ou plus g´ en´ eralement domin´ ee par une variable int´ egrable),
le mˆ eme raisonnement que ci-dessus donne pour s ≤ t
M s∧T n = E[M t∧T n | F s ].
Or par convergence domin´ ee la suite M t∧T n converge dans L 1 vers M t , et donc on
peut passer `
a la limite n → ∞ pour trouver M s = E[M t | F s ].
(iii) C’est une cons´ equence imm´ ediate de (ii) puisque M T n est une martingale
locale born´ ee.
Remarque. Au vu de la propri´ et´ e (ii) de la proposition, on pourrait croire qu’une
martingale locale M telle que la famille (M t ) t≥0 est uniform´ ement int´ egrable (ou
mˆ eme satisfait la propri´ et´ e plus forte d’ˆ etre born´ ee dans un espace L p avec p > 1)
est automatiquement une vraie martingale. Cela est faux!! Par exemple, si B est un
mouvement brownien en dimension trois issu de x = 0, le processus M t = 1/|B t |
est une martingale locale born´ ee dans L 2 mais n’est pas une vraie martingale : voir
l’Exercice 5.9.
Th´ eor` eme 4.1. Soit M une martingale locale. Alors si M est un processus `
a variation finie, M est indistinguable de 0.
D´ emonstration. Supposons que M est un processus `
a variation finie (donc en particulier M 0 = 0) et posons pour tout n ∈ N,
τ n = inf{t ≥ 0 :
t
0
|dM s | ≥ n}.
Les temps τ n sont des temps d’arrˆ et d’apr` es la Proposition 3.4 (remarquer que le
processus
t
0 |dM s | a des trajectoires continues et est adapt´ e). Fixons n ≥ 1 et posons
N = M τ n . Alors N est une martingale locale issue de 0 telle que
∞
0 |dN s | ≤ n, et
donc en particulier |N t | ≤ n. D’apr` es la Proposition 4.3, N est une (vraie) martingale
born´ ee. Ensuite, fixons t > 0 et soit 0 = t 0 < t 1 < · · · < t p = t une subdivision de
[0,t]. Alors, en utilisant la Proposition 3.7,
En ajoutant des deux côtés la variable M 0 (qui est F 0 -mesurable et dans L 1 ), on
trouve
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D´ emonstration. (i) Ecrivons M t = M 0 + N t . Par d´ efinition, il existe une suite (T n )
de temps d’arrˆ et qui r´ eduit N. Alors, si s ≤ t, on a pour tout n,
N s∧T n = E[N t∧T n | F s ].
M s∧T n = E[M t∧T n | F s ].
(4.1)
Puisque M est `
a valeurs positives, on peut faire tendre n vers ∞ et appliquer le lemme
de Fatou (pour les esp´ erances conditionnelles) qui donne
M s ≥ E[M t | F s ].
En prenant s = 0, on voit que E[M t ] ≤ E[M 0 ] < ∞, donc M t ∈ L 1 pour tout t ≥ 0.
L’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente montre alors que M est une surmartingale.
(ii) Si M est born´ ee (ou plus g´ en´ eralement domin´ ee par une variable int´ egrable),
le mˆ eme raisonnement que ci-dessus donne pour s ≤ t
M s∧T n = E[M t∧T n | F s ].
Or par convergence domin´ ee la suite M t∧T n converge dans L 1 vers M t , et donc on
peut passer `
a la limite n → ∞ pour trouver M s = E[M t | F s ].
(iii) C’est une cons´ equence imm´ ediate de (ii) puisque M T n est une martingale
locale born´ ee.
Remarque. Au vu de la propri´ et´ e (ii) de la proposition, on pourrait croire qu’une
martingale locale M telle que la famille (M t ) t≥0 est uniform´ ement int´ egrable (ou
mˆ eme satisfait la propri´ et´ e plus forte d’ˆ etre born´ ee dans un espace L p avec p > 1)
est automatiquement une vraie martingale. Cela est faux!! Par exemple, si B est un
mouvement brownien en dimension trois issu de x = 0, le processus M t = 1/|B t |
est une martingale locale born´ ee dans L 2 mais n’est pas une vraie martingale : voir
l’Exercice 5.9.
Th´ eor` eme 4.1. Soit M une martingale locale. Alors si M est un processus `
a variation finie, M est indistinguable de 0.
D´ emonstration. Supposons que M est un processus `
a variation finie (donc en particulier M 0 = 0) et posons pour tout n ∈ N,
τ n = inf{t ≥ 0 :
t
0
|dM s | ≥ n}.
Les temps τ n sont des temps d’arrˆ et d’apr` es la Proposition 3.4 (remarquer que le
processus
t
0 |dM s | a des trajectoires continues et est adapt´ e). Fixons n ≥ 1 et posons
N = M τ n . Alors N est une martingale locale issue de 0 telle que
∞
0 |dN s | ≤ n, et
donc en particulier |N t | ≤ n. D’apr` es la Proposition 4.3, N est une (vraie) martingale
born´ ee. Ensuite, fixons t > 0 et soit 0 = t 0 < t 1 < · · · < t p = t une subdivision de
[0,t]. Alors, en utilisant la Proposition 3.7,
En ajoutant des deux côtés la variable M 0 (qui est F 0 -mesurable et dans L 1 ), on
trouve