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4 Semimartingales continues
Plus g´ en´ eralement, lorsque M 0 = 0, on dit que M est une martingale locale si
M t = M 0 + N t , o` u le processus N est une martingale locale issue de 0.
Dans tous les cas, on dit que la suite de temps d’arrˆ et T n ↑ ∞ r´ eduit M si, pour
tout n, le processus arrˆ et´ e M T n est une martingale uniform´ ement int´ egrable.
Remarques. (i) On n’impose pas dans la d´ efinition d’une martingale locale que
les variables M t soient dans L 1 (comparer avec la d´ efinition des martingales). En
particulier, on voit sur la d´ efinition pr´ ec´ edente que M 0 peut ˆ
etre n’importe quelle
variable F 0 -mesurable.
(ii) Donnons des exemples de martingales locales M qui ne sont pas de vraies martingales. Partant d’un (F t )-mouvement brownien B issu de 0, et d’une variable Z
F 0 -mesurable, on peut poser M t = Z + B t , qui ne sera pas une vraie martingale si
E[|Z|] = ∞. Si on veut avoir la propri´ et´ e M 0 = 0, on peut aussi prendre M t = ZB t qui
est toujours une martingale locale (voir l’Exercice 4.1) mais pas une vraie martingale si E[|Z|] = ∞. Pour un exemple moins artificiel, voir la question 8. de l’Exercice
5.9.
(iii) On peut d´ efinir une notion de martingale locale `
a trajectoires seulement continues `
a droite. Cependant dans ce cours, nous ne consid´ erons que des martingales
locales `
a trajectoires continues (et donc une martingale locale sera toujours pour
nous un processus `
a trajectoires continues).
Les propri´ et´ es qui suivent sont tr` es faciles `
a ´
etablir.
Propri´ et´ es des martingales locales.
(a) Une martingale `
a trajectoires continues est une martingale locale (et la suite
T n = n r´ eduit M).
(b) Dans la d´ efinition d’une martingale locale issue de 0 on peut remplacer “martingale uniform´ ement int´ egrable” par “martingale” (en effet on peut ensuite remplacer T n par T n ∧ n).
(c) Si M est une martingale locale, pour tout temps d’arrˆ et T , M T est une martingale locale (cf. Corollaire 3.2).
(d) Si (T n ) r´ eduit M et si S n est une suite de temps d’arrˆ et telle que S n ↑ ∞, alors
la suite (T n ∧ S n ) r´ eduit aussi M.
(e) L’espace des martingales locales est un espace vectoriel (utiliser la propri´ et´ e
pr´ ec´ edente).
Proposition 4.3. (i) Une martingale locale positive M telle que M 0 ∈ L 1 est une
surmartingale.
(ii) Une martingale locale M born´ ee, ou plus g´ en´ eralement telle qu’il existe une
variable Z ∈ L 1 telle que, pour tout t ≥ 0, |M t | ≤ Z, est une martingale (automatiquement uniform´ ement int´ egrable).
(iii) Si M est une martingale locale avec M 0 = 0, la suite de temps d’arrˆ et
T n = inf{t ≥ 0 : |M t | ≥ n}
r´ eduit M.
4 Semimartingales continues
Plus g´ en´ eralement, lorsque M 0 = 0, on dit que M est une martingale locale si
M t = M 0 + N t , o` u le processus N est une martingale locale issue de 0.
Dans tous les cas, on dit que la suite de temps d’arrˆ et T n ↑ ∞ r´ eduit M si, pour
tout n, le processus arrˆ et´ e M T n est une martingale uniform´ ement int´ egrable.
Remarques. (i) On n’impose pas dans la d´ efinition d’une martingale locale que
les variables M t soient dans L 1 (comparer avec la d´ efinition des martingales). En
particulier, on voit sur la d´ efinition pr´ ec´ edente que M 0 peut ˆ
etre n’importe quelle
variable F 0 -mesurable.
(ii) Donnons des exemples de martingales locales M qui ne sont pas de vraies martingales. Partant d’un (F t )-mouvement brownien B issu de 0, et d’une variable Z
F 0 -mesurable, on peut poser M t = Z + B t , qui ne sera pas une vraie martingale si
E[|Z|] = ∞. Si on veut avoir la propri´ et´ e M 0 = 0, on peut aussi prendre M t = ZB t qui
est toujours une martingale locale (voir l’Exercice 4.1) mais pas une vraie martingale si E[|Z|] = ∞. Pour un exemple moins artificiel, voir la question 8. de l’Exercice
5.9.
(iii) On peut d´ efinir une notion de martingale locale `
a trajectoires seulement continues `
a droite. Cependant dans ce cours, nous ne consid´ erons que des martingales
locales `
a trajectoires continues (et donc une martingale locale sera toujours pour
nous un processus `
a trajectoires continues).
Les propri´ et´ es qui suivent sont tr` es faciles `
a ´
etablir.
Propri´ et´ es des martingales locales.
(a) Une martingale `
a trajectoires continues est une martingale locale (et la suite
T n = n r´ eduit M).
(b) Dans la d´ efinition d’une martingale locale issue de 0 on peut remplacer “martingale uniform´ ement int´ egrable” par “martingale” (en effet on peut ensuite remplacer T n par T n ∧ n).
(c) Si M est une martingale locale, pour tout temps d’arrˆ et T , M T est une martingale locale (cf. Corollaire 3.2).
(d) Si (T n ) r´ eduit M et si S n est une suite de temps d’arrˆ et telle que S n ↑ ∞, alors
la suite (T n ∧ S n ) r´ eduit aussi M.
(e) L’espace des martingales locales est un espace vectoriel (utiliser la propri´ et´ e
pr´ ec´ edente).
Proposition 4.3. (i) Une martingale locale positive M telle que M 0 ∈ L 1 est une
surmartingale.
(ii) Une martingale locale M born´ ee, ou plus g´ en´ eralement telle qu’il existe une
variable Z ∈ L 1 telle que, pour tout t ≥ 0, |M t | ≤ Z, est une martingale (automatiquement uniform´ ement int´ egrable).
(iii) Si M est une martingale locale avec M 0 = 0, la suite de temps d’arrˆ et
T n = inf{t ≥ 0 : |M t | ≥ n}
r´ eduit M.