4.2 Martingales locales
61
est aussi un processus `
a variation finie.
D´ emonstration. D’apr` es des remarques pr´ ec´ edentes, il est clair que les trajectoires
de H · A sont `
a variation finie. Il reste donc `
a montrer que H · A est adapt´ e. Pour
cela, il suffit de voir que, si h : Ω × [0,t] −→ R est mesurable pour la tribu produit F t ⊗ B([0,t]) et si
t
0 |h(ω, s)||dA s (ω)| est fini pour tout ω, alors la variable
t
0 h(ω, s)dA s (ω) est F t -mesurable.
Si h(ω, s) = 1 ]u,v] (s)1 Γ (ω) avec ]u, v] ⊂ [0,t] et Γ ∈ F t , le r´ esultat est ´
evident. On
passe ensuite au cas h = 1 G , G ∈ F t ⊗B([0,t]) par un argument de classe monotone.
Enfin, dans le cas g´ en´ eral, on observe qu’on peut toujours ´
ecrire h comme limite
ponctuelle d’une suite de fonctions ´
etag´ ees h n telles que |h n | ≤ |h| pour tout n, ce
qui assure que
t
0 h n (ω, s)dA s (ω) −→
t
0 h(ω, s)dA s (ω) par convergence domin´ ee.
Remarques. (i) Il arrive souvent qu’on ait l’hypoth` ese plus faible
p.s. ∀t ≥ 0,
t
0
|H s (ω)| |dA s (ω)| < ∞.
Si la filtration est compl` ete, on peut encore d´ efinir H ·A comme processus `
a variation
finie : on remplace H par H d´ efini par
H
t (ω) =
H t (ω) si
n
0 |H s (ω)| |dA s (ω)| < ∞, ∀n ,
0
sinon.
Grˆ ace au fait que la filtration est compl` ete, le processus H reste adapt´ e ce qui permet
de d´ efinir H · A = H · A. Nous ferons syst´ ematiquement cette extension dans la suite.
(ii) Sous des hypoth` eses convenables (si
t
0 |H s | |dA s | < ∞ et
t
0 |H s K s | |dA s | < ∞ pour
tout t ≥ 0), on a la propri´ et´ e d’associativit´ e K · (H · A) = (KH) · A.
Un cas particulier important est celui o` u A t = t. Si H est un processus progressif
tel que
∀t ≥ 0, ∀ω ∈ Ω ,
t
0
|H s (ω)| ds < ∞,
le processus
t
0 H s ds est un processus `
a variation finie.
4.2 Martingales locales
Nous nous plac ¸ons `
a nouveau sur un espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P). Si
T est un temps d’arrˆ et et X = (X t ) t≥0 est un processus `
a trajectoires continues, on
note X T le processus arrˆ et´ e X T
t = X t∧T pour tout t ≥ 0.
D´ efinition 4.3. Un processus adapt´ e `
a trajectoires continues M = (M t ) t≥0 tel que
M 0 = 0 p.s. est une martingale locale (continue) s’il existe une suite croissante
(T n ) n∈N de temps d’arrˆ et telle que T n ↑ ∞ et, pour tout n, le processus arrˆ et´ e M T n
est une martingale uniform´ ement int´ egrable.
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est aussi un processus `
a variation finie.
D´ emonstration. D’apr` es des remarques pr´ ec´ edentes, il est clair que les trajectoires
de H · A sont `
a variation finie. Il reste donc `
a montrer que H · A est adapt´ e. Pour
cela, il suffit de voir que, si h : Ω × [0,t] −→ R est mesurable pour la tribu produit F t ⊗ B([0,t]) et si
t
0 |h(ω, s)||dA s (ω)| est fini pour tout ω, alors la variable
t
0 h(ω, s)dA s (ω) est F t -mesurable.
Si h(ω, s) = 1 ]u,v] (s)1 Γ (ω) avec ]u, v] ⊂ [0,t] et Γ ∈ F t , le r´ esultat est ´
evident. On
passe ensuite au cas h = 1 G , G ∈ F t ⊗B([0,t]) par un argument de classe monotone.
Enfin, dans le cas g´ en´ eral, on observe qu’on peut toujours ´
ecrire h comme limite
ponctuelle d’une suite de fonctions ´
etag´ ees h n telles que |h n | ≤ |h| pour tout n, ce
qui assure que
t
0 h n (ω, s)dA s (ω) −→
t
0 h(ω, s)dA s (ω) par convergence domin´ ee.
Remarques. (i) Il arrive souvent qu’on ait l’hypoth` ese plus faible
p.s. ∀t ≥ 0,
t
0
|H s (ω)| |dA s (ω)| < ∞.
Si la filtration est compl` ete, on peut encore d´ efinir H ·A comme processus `
a variation
finie : on remplace H par H d´ efini par
H
t (ω) =
H t (ω) si
n
0 |H s (ω)| |dA s (ω)| < ∞, ∀n ,
0
sinon.
Grˆ ace au fait que la filtration est compl` ete, le processus H reste adapt´ e ce qui permet
de d´ efinir H · A = H · A. Nous ferons syst´ ematiquement cette extension dans la suite.
(ii) Sous des hypoth` eses convenables (si
t
0 |H s | |dA s | < ∞ et
t
0 |H s K s | |dA s | < ∞ pour
tout t ≥ 0), on a la propri´ et´ e d’associativit´ e K · (H · A) = (KH) · A.
Un cas particulier important est celui o` u A t = t. Si H est un processus progressif
tel que
∀t ≥ 0, ∀ω ∈ Ω ,
t
0
|H s (ω)| ds < ∞,
le processus
t
0 H s ds est un processus `
a variation finie.
4.2 Martingales locales
Nous nous plac ¸ons `
a nouveau sur un espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P). Si
T est un temps d’arrˆ et et X = (X t ) t≥0 est un processus `
a trajectoires continues, on
note X T le processus arrˆ et´ e X T
t = X t∧T pour tout t ≥ 0.
D´ efinition 4.3. Un processus adapt´ e `
a trajectoires continues M = (M t ) t≥0 tel que
M 0 = 0 p.s. est une martingale locale (continue) s’il existe une suite croissante
(T n ) n∈N de temps d’arrˆ et telle que T n ↑ ∞ et, pour tout n, le processus arrˆ et´ e M T n
est une martingale uniform´ ement int´ egrable.