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4 Semimartingales continues
Lemme 4.1. Si f : [0, T ] −→ R est une fonction continue et si 0 = t n
0 < t n
1 < · · · <
t n
p n = T est une suite de subdivisions de [0, T ] de pas tendant vers 0 on a
T
0
f (s) da(s) = lim
n→∞
p n
∑
i=1
f (t
n
i−1 ) (a(t
n
i ) − a(t
n
i−1 )).
D´ emonstration. Soit f n la fonction d´ efinie par f n (s) = f (t n
i−1 ) si s ∈]t n
i−1 ,t n
i ]. Alors,
p n
∑
i=1
f (t
n
i−1 ) (a(t
n
i ) − a(t
n
i−1 )) =
[0,T ]
f n (s) µ(ds),
et le r´ esultat voulu en d´ ecoule par convergence domin´ ee.
On dira qu’une fonction continue a : R + −→ R est `
a variation finie sur R + si
la restriction de a `
a [0, T ] est `
a variation finie, pour tout T > 0. Il est alors facile
d’´ etendre les d´ efinitions pr´ ec´ edentes. En particulier, on peut d´ efinir
∞
0 f (s)da(s)
pour toute fonction f telle que
∞
0 | f (s)||da(s)| = sup T >0
T
0 | f (s)||da(s)| < ∞.
4.1.2 Processus `
a variation finie
On se place maintenant sur un espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P).
D´ efinition 4.2. Un processus `
a variation finie A = (A t ) t≥0 est un processus adapt´ e
dont toutes les trajectoires sont `
a variation finie au sens de la d´ efinition pr´ ec´ edente.
Le processus A est appel´ e processus croissant si de plus les trajectoires de A sont
croissantes.
Remarque. En particulier on a A 0 = 0 et les trajectoires de A sont continues.
Si A est un processus `
a variation finie, le processus
V t =
t
0
|dA s |
est un processus croissant. En effet il est clair que les trajectoires de V sont croissantes (et aussi continues et nulles en t = 0). Le fait que la variable V t soit F t -
mesurable d´ ecoule de la deuxi` eme partie de la Proposition 4.1.
Proposition 4.2. Soit A un processus `
a variation finie et soit H un processus progressif tel que
∀t ≥ 0, ∀ω ∈ Ω ,
t
0
|H s (ω)| |dA s (ω)| < ∞.
Alors le processus H · A d´ efini par
(H · A) t =
t
0
H s dA s
4 Semimartingales continues
Lemme 4.1. Si f : [0, T ] −→ R est une fonction continue et si 0 = t n
0 < t n
1 < · · · <
t n
p n = T est une suite de subdivisions de [0, T ] de pas tendant vers 0 on a
T
0
f (s) da(s) = lim
n→∞
p n
∑
i=1
f (t
n
i−1 ) (a(t
n
i ) − a(t
n
i−1 )).
D´ emonstration. Soit f n la fonction d´ efinie par f n (s) = f (t n
i−1 ) si s ∈]t n
i−1 ,t n
i ]. Alors,
p n
∑
i=1
f (t
n
i−1 ) (a(t
n
i ) − a(t
n
i−1 )) =
[0,T ]
f n (s) µ(ds),
et le r´ esultat voulu en d´ ecoule par convergence domin´ ee.
On dira qu’une fonction continue a : R + −→ R est `
a variation finie sur R + si
la restriction de a `
a [0, T ] est `
a variation finie, pour tout T > 0. Il est alors facile
d’´ etendre les d´ efinitions pr´ ec´ edentes. En particulier, on peut d´ efinir
∞
0 f (s)da(s)
pour toute fonction f telle que
∞
0 | f (s)||da(s)| = sup T >0
T
0 | f (s)||da(s)| < ∞.
4.1.2 Processus `
a variation finie
On se place maintenant sur un espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P).
D´ efinition 4.2. Un processus `
a variation finie A = (A t ) t≥0 est un processus adapt´ e
dont toutes les trajectoires sont `
a variation finie au sens de la d´ efinition pr´ ec´ edente.
Le processus A est appel´ e processus croissant si de plus les trajectoires de A sont
croissantes.
Remarque. En particulier on a A 0 = 0 et les trajectoires de A sont continues.
Si A est un processus `
a variation finie, le processus
V t =
t
0
|dA s |
est un processus croissant. En effet il est clair que les trajectoires de V sont croissantes (et aussi continues et nulles en t = 0). Le fait que la variable V t soit F t -
mesurable d´ ecoule de la deuxi` eme partie de la Proposition 4.1.
Proposition 4.2. Soit A un processus `
a variation finie et soit H un processus progressif tel que
∀t ≥ 0, ∀ω ∈ Ω ,
t
0
|H s (ω)| |dA s (ω)| < ∞.
Alors le processus H · A d´ efini par
(H · A) t =
t
0
H s dA s