4.1 Processus `
a variation finie
59
o` u le supremum porte sur toutes les subdivisions 0 = t 0 < t 1 < · · · < t p = t de
[0,t]. Plus pr´ ecis´ ement, pour toute suite 0 = t n
0 < t n
1 < · · · < t n
p n = t de subdivisions
emboˆ ıt´ ees de [0,t] de pas tendant vers 0 on a
lim
n→∞
p n
∑
i=1
|a(t
n
i ) − a(t
n
i−1 )| = |µ|([0,t]).
Remarque. Dans la pr´ esentation habituelle des fonctions `
a variation finie, on part
de la propri´ et´ e que le supremum ci-dessus est fini.
D´ emonstration. Il suffit clairement de traiter le cas t = T . L’in´ egalit´ e ≥ dans la
premi` ere assertion est tr` es facile puisque
|a(t i ) − a(t i−1 )| = |µ(]t i−1 ,t i ])| ≤ |µ|(]t i−1 ,t i ]).
Pour l’autre in´ egalit´ e, il suffit d’´ etablir la seconde assertion. Consid´ erons pour simplifier les subdivisions dyadiques t n
i = i2 −n T , 0 ≤ i ≤ 2 n (l’argument est facilement adapt´ e au cas g´ en´ eral). Bien qu’il s’agisse d’un r´ esultat “d´ eterministe”, nous
allons utiliser un argument de martingales en introduisant l’espace de probabilit´ e
Ω = [0, T ] muni de la tribu bor´ elienne B = B([0, T ]) et de la probabilit´ e P(ds) =
(|µ|([0, T ])) −1 |µ|(ds). Introduisons sur cet espace la filtration discr` ete (B n ) n∈N
telle que, pour tout n ∈ N, B n est engendr´ ee par les intervalles ](i − 1)2 −n T, i2 −n T ],
1 ≤ i ≤ 2 n . Posons enfin
X(s) = 1 D + (s) − 1 D − (s) =
dµ
d|µ|
(s),
et, pour chaque n ∈ N,
X n = E[X | B n ].
Les propri´ et´ es de l’esp´ erance conditionnelle montrent que X n est constante sur
chaque intervalle ](i − 1)2 −n T, i2 −n T ] et vaut sur cet intervalle
µ(](i − 1)2 −n T, i2 −n T ])
|µ|(](i − 1)2 −n T, i2 −n T ])
=
a(i2 −n T ) − a((i − 1)2 −n T )
|µ|(](i − 1)2 −n T, i2 −n T ])
.
D’autre part, il est clair que la suite (X n ) est une martingale ferm´ ee, relativement `
a
la filtration (B n ). Puisque X est mesurable par rapport `
a B =
n B n , cette martingale converge p.s. et dans L 1 vers X, d’apr` es le th´ eor` eme de convergence pour les
martingales discr` etes ferm´ ees (voir l’Appendice A2). En particulier,
lim
n→∞
E[|X n |] = E[|X|] = 1,
cette derni` ere ´
egalit´ e ´
etant claire puisque |X(s)| = 1, |µ|(ds) p.p. Le r´ esultat annonc´ e
en d´ ecoule puisque, d’apr` es ci-dessus,
E[|X n |] = (|µ|([0, T ]))
−1
2 n
∑
i=1
|a(i2
−n T ) − a((i − 1)2
−n T )|.
a variation finie
59
o` u le supremum porte sur toutes les subdivisions 0 = t 0 < t 1 < · · · < t p = t de
[0,t]. Plus pr´ ecis´ ement, pour toute suite 0 = t n
0 < t n
1 < · · · < t n
p n = t de subdivisions
emboˆ ıt´ ees de [0,t] de pas tendant vers 0 on a
lim
n→∞
p n
∑
i=1
|a(t
n
i ) − a(t
n
i−1 )| = |µ|([0,t]).
Remarque. Dans la pr´ esentation habituelle des fonctions `
a variation finie, on part
de la propri´ et´ e que le supremum ci-dessus est fini.
D´ emonstration. Il suffit clairement de traiter le cas t = T . L’in´ egalit´ e ≥ dans la
premi` ere assertion est tr` es facile puisque
|a(t i ) − a(t i−1 )| = |µ(]t i−1 ,t i ])| ≤ |µ|(]t i−1 ,t i ]).
Pour l’autre in´ egalit´ e, il suffit d’´ etablir la seconde assertion. Consid´ erons pour simplifier les subdivisions dyadiques t n
i = i2 −n T , 0 ≤ i ≤ 2 n (l’argument est facilement adapt´ e au cas g´ en´ eral). Bien qu’il s’agisse d’un r´ esultat “d´ eterministe”, nous
allons utiliser un argument de martingales en introduisant l’espace de probabilit´ e
Ω = [0, T ] muni de la tribu bor´ elienne B = B([0, T ]) et de la probabilit´ e P(ds) =
(|µ|([0, T ])) −1 |µ|(ds). Introduisons sur cet espace la filtration discr` ete (B n ) n∈N
telle que, pour tout n ∈ N, B n est engendr´ ee par les intervalles ](i − 1)2 −n T, i2 −n T ],
1 ≤ i ≤ 2 n . Posons enfin
X(s) = 1 D + (s) − 1 D − (s) =
dµ
d|µ|
(s),
et, pour chaque n ∈ N,
X n = E[X | B n ].
Les propri´ et´ es de l’esp´ erance conditionnelle montrent que X n est constante sur
chaque intervalle ](i − 1)2 −n T, i2 −n T ] et vaut sur cet intervalle
µ(](i − 1)2 −n T, i2 −n T ])
|µ|(](i − 1)2 −n T, i2 −n T ])
=
a(i2 −n T ) − a((i − 1)2 −n T )
|µ|(](i − 1)2 −n T, i2 −n T ])
.
D’autre part, il est clair que la suite (X n ) est une martingale ferm´ ee, relativement `
a
la filtration (B n ). Puisque X est mesurable par rapport `
a B =
n B n , cette martingale converge p.s. et dans L 1 vers X, d’apr` es le th´ eor` eme de convergence pour les
martingales discr` etes ferm´ ees (voir l’Appendice A2). En particulier,
lim
n→∞
E[|X n |] = E[|X|] = 1,
cette derni` ere ´
egalit´ e ´
etant claire puisque |X(s)| = 1, |µ|(ds) p.p. Le r´ esultat annonc´ e
en d´ ecoule puisque, d’apr` es ci-dessus,
E[|X n |] = (|µ|([0, T ]))
−1
2 n
∑
i=1
|a(i2
−n T ) − a((i − 1)2
−n T )|.