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4 Semimartingales continues
Ensuite, si h(t) = h 1 (t) − h 2 (t) on a
µ(dt) = h(t)ν(dt) = h(t)
+ ν(dt) − h(t)
− ν(dt)
ce qui donne la d´ ecomposition µ = µ + − µ − avec µ + (dt) = h(t) + ν(dt), µ − (dt) =
h(t) − ν(dt), les mesures µ + et µ − ´
etant port´ ees respectivement par les bor´ eliens
disjoints D + = {t : h(t) > 0} et D − = {t : h(t) < 0}. L’unicit´ e de la d´ ecomposition
µ = µ + − µ − d´ ecoule du fait que l’on a n´ ecessairement, pour tout A ∈ B([0, T ]),
µ + (A) = sup{µ(C) : C ∈ B([0, T ]), C ⊂ A}.
On note |µ| la mesure positive |µ| = µ + + µ − . La mesure |µ| est appel´ ee la
variation totale de a. On a |µ(A)| ≤ |µ|(A) pour tout A ∈ B([0, T ]). De plus, la
d´ eriv´ ee de Radon-Nikodym de µ par rapport `
a |µ| est
dµ
d|µ|
= 1 D + − 1 D − .
On a a(t) = µ + ([0,t]) − µ − ([0,t]), ce qui montre que la fonction a est diff´ erence
de deux fonctions croissantes continues et nulles en 0 (la continuit´ e de a entraˆ ıne
que µ n’a pas d’atomes, et il en va alors de mˆ eme pour µ + et µ − ). Inversement une
diff´ erence de fonctions croissantes (continues et nulles en 0) est aussi `
a variation
finie au sens pr´ ec´ edent. En effet, cela d´ ecoule du fait bien connu que la formule
g(t) = ν([0,t]) ´
etablit une bijection entre les fonctions croissantes continues `
a droite
g : [0, T ] −→ R + et les mesures positives finies sur [0, T ].
Soit f : [0, T ] −→ R une fonction mesurable telle que
[0,T ] | f (s)| |µ|(ds) < ∞.
On note
T
0
f (s) da(s) =
[0,T ]
f (s) µ(ds),
T
0
f (s) |da(s)| =
[0,T ]
f (s) |µ|(ds).
On v´ erifie facilement l’in´ egalit´ e
T
0
f (s) da(s)
≤
T
0
| f (s)| |da(s)|.
Remarquons de plus que la fonction t →
t
0 f (s) da(s) est aussi `
a variation finie (la
mesure associ´ ee est simplement µ (ds) = f (s)µ(ds)).
Proposition 4.1. Pour tout t ∈]0, T ],
|µ|([0,t]) = sup
p
∑
i=1
|a(t i ) − a(t i−1 )|
,