J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_4,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 4
Semimartingales continues
R´ esum´ e Les semimartingales continues constituent la classe g´ en´ erale de processus
`
a trajectoires continues pour laquelle on peut d´ evelopper une th´ eorie de l’int´ egrale
stochastique, qui sera trait´ ee dans le chapitre suivant. Par d´ efinition, une semimartingale est la somme d’une martingale (locale) et d’un processus `
a variation finie. Dans
ce chapitre nous ´
etudions s´ epar´ ement ces deux classes de processus. En particulier,
nous introduisons la notion de variation quadratique d’une martingale, qui jouera
plus tard un rˆ ole fondamental. Tous les processus consid´ er´ es dans ce chapitre sont
index´ es par R + et `
a valeurs r´ eelles.
4.1 Processus `
a variation finie
4.1.1 Fonctions `
a variation finie
Dans ce paragraphe, nous discutons bri` evement les fonctions `
a variation finie sur
R + . Nous nous limitons au cas des fonctions continues, qui est le seul qui interviendra dans la suite.
D´ efinition 4.1. Soit T > 0. Une fonction continue a : [0, T ] −→ R telle que a(0) = 0
est dite `
a variation finie s’il existe une mesure sign´ ee (i.e. diff´ erence de deux mesures
positives finies) µ sur [0, T ] telle que a(t) = µ([0,t]) pour tout t ∈ [0, T ].
La mesure µ est alors d´ etermin´ ee de fac ¸on unique. La d´ ecomposition de µ
comme diff´ erence de deux mesures positives finies n’est bien sˆ ur pas unique, mais il
existe une seule d´ ecomposition µ = µ + − µ − telle que µ + et µ − soient deux mesures
positives finies port´ ees par des bor´ eliens disjoints. Pour obtenir l’existence d’une
telle d´ ecomposition, on peut partir d’une d´ ecomposition quelconque µ = µ 1 − µ 2 ,
poser ν = µ 1 + µ 2 puis utiliser le th´ eor` eme de Radon-Nikodym pour trouver deux
fonctions bor´ eliennes positives h 1 et h 2 sur [0, T ] telles que
µ 1 (dt) = h 1 (t)ν(dt), µ 2 (dt) = h 2 (t)ν(dt).
57
Math¯matiques et Applications
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_4,
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Semimartingales continues
R´ esum´ e Les semimartingales continues constituent la classe g´ en´ erale de processus
`
a trajectoires continues pour laquelle on peut d´ evelopper une th´ eorie de l’int´ egrale
stochastique, qui sera trait´ ee dans le chapitre suivant. Par d´ efinition, une semimartingale est la somme d’une martingale (locale) et d’un processus `
a variation finie. Dans
ce chapitre nous ´
etudions s´ epar´ ement ces deux classes de processus. En particulier,
nous introduisons la notion de variation quadratique d’une martingale, qui jouera
plus tard un rˆ ole fondamental. Tous les processus consid´ er´ es dans ce chapitre sont
index´ es par R + et `
a valeurs r´ eelles.
4.1 Processus `
a variation finie
4.1.1 Fonctions `
a variation finie
Dans ce paragraphe, nous discutons bri` evement les fonctions `
a variation finie sur
R + . Nous nous limitons au cas des fonctions continues, qui est le seul qui interviendra dans la suite.
D´ efinition 4.1. Soit T > 0. Une fonction continue a : [0, T ] −→ R telle que a(0) = 0
est dite `
a variation finie s’il existe une mesure sign´ ee (i.e. diff´ erence de deux mesures
positives finies) µ sur [0, T ] telle que a(t) = µ([0,t]) pour tout t ∈ [0, T ].
La mesure µ est alors d´ etermin´ ee de fac ¸on unique. La d´ ecomposition de µ
comme diff´ erence de deux mesures positives finies n’est bien sˆ ur pas unique, mais il
existe une seule d´ ecomposition µ = µ + − µ − telle que µ + et µ − soient deux mesures
positives finies port´ ees par des bor´ eliens disjoints. Pour obtenir l’existence d’une
telle d´ ecomposition, on peut partir d’une d´ ecomposition quelconque µ = µ 1 − µ 2 ,
poser ν = µ 1 + µ 2 puis utiliser le th´ eor` eme de Radon-Nikodym pour trouver deux
fonctions bor´ eliennes positives h 1 et h 2 sur [0, T ] telles que
µ 1 (dt) = h 1 (t)ν(dt), µ 2 (dt) = h 2 (t)ν(dt).
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