3 Exercices
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E[|Y T −Y ∞ |
p ] ≤ C P[T < ∞].
(On pourra utiliser les temps d’arrˆ et T A d´ efinis pour A ∈ F T dans la propri´ et´ e (d)
des temps d’arrˆ et.)
4. On suppose que Y v´ erifie la propri´ et´ e (P) avec la constante C. Soit S un temps
d’arrˆ et et soit Y S la “martingale arrˆ et´ ee” d´ efinie par Y S
t = Y t∧S (cf. Corollaire 3.2).
Montrer que Y S v´ erifie la propri´ et´ e (P) avec la mˆ eme constante C. On pourra commencer par observer que, si S et T sont des temps d’arrˆ et, on a Y S
T = Y S∧T = Y T
S =
E[Y T | F S ].
5. On suppose dans cette question et la suivante que Y v´ erifie la propri´ et´ e (P) avec
la constante C = 1. Soit a > 0, et soit (R n ) n∈N la suite de temps d’arrˆ et d´ efinis par
r´ ecurrence par
R 0 = 0 ,
R n+1 = inf{t ≥ R n : |Y t −Y R n | ≥ a}
(inf ∅ = ∞).
Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,
a
p P(R n+1 < ∞) ≤ P(R n < ∞).
6. En d´ eduire que, pour tout x > 0,
P
sup
t≥0
Y t > x
≤ 2
p 2
−px/2 .