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3 Exercices
T = T a ∧ T b .
1. Montrer que, pour tout λ > 0,
E[exp(−λ T )] =
ch(
b+a
2
√
2λ )
ch(
b−a
2
√
2λ )
.
(Il pourra ˆ
etre utile de consid´ erer une martingale de la forme
M t = exp
√
2λ (B t − α) − λt
+ exp
−
√
2λ (B t − α) − λt
avec un choix convenable de α.)
2. Montrer de mˆ eme que, pour tout λ > 0,
E[exp(−λ T ) 1 {T =T a } ] =
sh(b
√
2λ )
sh((b − a)
√
2λ )
.
3. A l’aide de la question 2., retrouver l’expression de P(T a < T b ).
Exercice 3.3. Soit (B t ) t≥0 un (F t )-mouvement brownien issu de 0. Soit a > 0 et
σ a = inf{t ≥ 0 : B t ≤ t − a}.
1. Montrer que σ a est un temps d’arrˆ et et que σ a < ∞ p.s.
2. En introduisant une martingale exponentielle arrˆ et´ ee bien choisie, montrer que,
pour tout λ ≥ 0,
E[exp(−λ σ a )] = exp(−a(
1 + 2λ − 1)).
On admettra que cette formule reste vraie pour λ ∈ [−
1
2 , 0[.
3. Soit µ ∈ R et M t = exp(µB t −
µ 2
2 t). Montrer que la martingale arrˆ et´ ee M
σ a
t =
M σ a ∧t est ferm´ ee si et seulement si µ ≤ 1 (on remarquera d’abord que cette martingale est ferm´ ee si et seulement si E[M σ a ] = 1).
Exercice 3.4. Soit (Y t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues uniform´ ement
int´ egrable, telle que Y 0 = 0. On note Y ∞ = lim t→∞ Y t . Soit aussi p ≥ 1 un r´ eel fix´ e.
On dit que la martingale Y v´ erifie la propri´ et´ e (P) s’il existe une constante C telle
que, pour tout temps d’arrˆ et T , on ait
E[|Y ∞ −Y T |
p | F T ] ≤ C.
1. Montrer que si Y ∞ est born´ ee, la martingale Y v´ erifie la propri´ et´ e (P).
2. Soit B un (F t )-mouvement brownien r´ eel issu de 0. Montrer que la martingale
Y t = B t∧1 v´ erifie la propri´ et´ e (P). (On pourra observer que la variable al´ eatoire
sup t≤1 |B t | est dans L p .)
3. Montrer que Y v´ erifie la propri´ et´ e (P) avec la constante C, si et seulement si pour
tout temps d’arrˆ et T ,