3 Exercices
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Z V a lieu dans L 1 . Mais, en appliquant `
a nouveau le th´ eor` eme d’arrˆ et pour les surmartingales discr` etes, on a E[Z U n ] ≥ E[Z V n ] pour tout entier n ≥ 0, et il suffit de faire
tendre n vers ∞, en utilisant la convergence L 1 , pour obtenir que E[Z U ] ≥ E[Z V ].
Consid´ erons maintenant le cas g´ en´ eral. La premi` ere partie de la preuve assure
que, pour tout entier p ≥ 1,
E[Z U∧p ] ≥ E[Z V ∧p ].
Mais puisque Z est `
a valeurs positives, il est aussi imm´ ediat que
E[Z U∧p 1 {U>p} ] = E[Z p 1 {U>p} ] ≤ E[Z p 1 {V >p} ] = E[Z V ∧p 1 {V >p} ].
En retranchant cette in´ egalit´ e de la pr´ ec´ edente, on trouve
E[Z U∧p 1 {U≤p} ] ≥ E[Z V ∧p 1 {V ≤p} ] = E[Z V 1 {V ≤p} ].
Mais E[Z U 1 {U<∞} ] ≥ E[Z U∧p 1 {U≤p} ], et d’autre part E[Z V 1 {V ≤p} ] ↑ E[Z V 1 {V <∞} ]
quand p ↑ ∞, par convergence monotone. L’in´ egalit´ e annonc´ ee en d´ ecoule.
Exercices
Dans les exercices qui suivent, on se place sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P)
muni d’une filtration compl` ete (F t ) t∈[0,∞] .
Exercice 3.1. 1. Soit M une martingale `
a trajectoires continues telle que M 0 = x ∈
R + . On suppose que M t ≥ 0 pour tout t ≥ 0 et que M t → 0 quand t → ∞, p.s. Montrer
que, pour tout y > x,
P
sup
t≥0
M t ≥ y
=
x
y
.
2. En d´ eduire la loi de
sup
t≤T 0
B t
lorsque B est un mouvement brownien issu de x > 0 et T 0 = inf{t ≥ 0 : B t = 0}.
3. Supposons maintenant que B est un mouvement brownien issu de 0, et soit µ > 0.
En introduisant une martingale exponentielle bien choisie, montrer que
sup
t≥0
(B t − µt)
suit la loi exponentielle de param` etre 2µ.
Exercice 3.2. Soit B un (F t )-mouvement brownien r´ eel issu de 0. Pour tout x ∈ R,
on note
T x = inf{t ≥ 0 : B t = x}.
On fixe deux r´ eels a et b avec a < 0 < b, et on note