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3 Filtrations et martingales
e
λ a E[e
− λ 2
2 T a ] = E[N
λ
T a ] = 1 .
En remplac ¸ant λ par
√
2λ , on conclut que, pour tout λ > 0,
E[e
−λ T a ] = e
−a
√
2λ .
(3.6)
(Cette formule pourrait aussi ˆ
etre d´ eduite de la connaissance de la densit´ e de T a , voir
le Corollaire 2.4.) Il est instructif d’essayer de reproduire le raisonnement pr´ ec´ edent
en utilisant la martingale N λ
t pour λ < 0 : on aboutit alors `
a un r´ esultat absurde, ce
qui s’explique par le fait que la martingale arrˆ et´ ee N λ
t∧T a
n’est pas uniform´ ement
int´ egrable lorsque λ < 0. Il est crucial de toujours v´ erifier l’uniforme int´ egrabilit´ e
lorsqu’on applique le Th´ eor` eme 3.6 : dans l’immense majorit´ e des cas, cela se fait
en montrant que la martingale locale arrˆ et´ ee au temps d’arrˆ et consid´ er´ e est born´ ee.
Exercice. Pour a > 0, posons U a = inf{t ≥ 0 : |B t | = a}. Montrer que, pour tout
λ > 0,
E[exp(−λU a )] =
1
ch(a
√
2λ )
.
Nous terminons avec une forme du th´ eor` eme d’arrˆ et pour les surmartingales, qui
nous sera utile dans des applications ult´ erieures aux processus de Markov.
Proposition 3.10. Soit (Z t ) t≥0 est une surmartingale positive `
a trajectoires continues `
a droite. Soient U et V deux temps d’arrˆ et avec U ≤ V . Alors, Z U et Z V sont
dans L 1 , et
E[Z V 1 {V <∞} ] ≤ E[Z U 1 {U<∞} ].
D´ emonstration. Nous supposons d’abord que U et V sont born´ es. Soit p ≥ 1 un
entier tel que U ≤ p et V ≤ p. Posons, pour tout entier n ≥ 0,
U n =
p2 n −1
∑
k=0
k + 1
2 n 1 {k2 −n
p2 n −1
∑
k=0
k + 1
2 n 1 {k2 −n
d’arrˆ et born´ es qui d´ ecroissent respectivement vers U et V , et U n ≤ V n pour tout
n ≥ 0. La continuit´ e `
a droite des trajectoires montre en particulier que Z U n −→ Z U et
Z V n −→ Z V quand n → ∞, p.s. Ensuite, une application du th´ eor` eme d’arrˆ et pour les
surmartingales discr` etes dans le cas born´ e (voir l’Appendice A2), dans la filtration
(F k/2 n+1 ) k≥0 , montre que, pour tout entier n ≥ 0,
Z U n+1 ≥ E[Z U n | F U n+1 ].
En posant Y n = Z U −n et H n = F U −n , pour tout n ∈ −N, on voit alors que la suite
(Y n ) n∈−N forme une surmartingale r´ etrograde dans la filtration (H n ) n∈−N . Comme,
pour tout n ∈ N, E[Z U n ] ≤ E[Z 0 ] (par application `
a nouveau du th´ eor` eme d’arrˆ et
discret), la suite (Y n ) n∈−N est born´ ee dans L 1 , et, d’apr` es les r´ esultats sur les surmartingales r´ etrogrades (voir l’Appendice A2), elle converge dans L 1 . Donc la convergence de Z U n vers Z U a aussi lieu dans L 1 et de mˆ eme la convergence de Z V n vers
3 Filtrations et martingales
e
λ a E[e
− λ 2
2 T a ] = E[N
λ
T a ] = 1 .
En remplac ¸ant λ par
√
2λ , on conclut que, pour tout λ > 0,
E[e
−λ T a ] = e
−a
√
2λ .
(3.6)
(Cette formule pourrait aussi ˆ
etre d´ eduite de la connaissance de la densit´ e de T a , voir
le Corollaire 2.4.) Il est instructif d’essayer de reproduire le raisonnement pr´ ec´ edent
en utilisant la martingale N λ
t pour λ < 0 : on aboutit alors `
a un r´ esultat absurde, ce
qui s’explique par le fait que la martingale arrˆ et´ ee N λ
t∧T a
n’est pas uniform´ ement
int´ egrable lorsque λ < 0. Il est crucial de toujours v´ erifier l’uniforme int´ egrabilit´ e
lorsqu’on applique le Th´ eor` eme 3.6 : dans l’immense majorit´ e des cas, cela se fait
en montrant que la martingale locale arrˆ et´ ee au temps d’arrˆ et consid´ er´ e est born´ ee.
Exercice. Pour a > 0, posons U a = inf{t ≥ 0 : |B t | = a}. Montrer que, pour tout
λ > 0,
E[exp(−λU a )] =
1
ch(a
√
2λ )
.
Nous terminons avec une forme du th´ eor` eme d’arrˆ et pour les surmartingales, qui
nous sera utile dans des applications ult´ erieures aux processus de Markov.
Proposition 3.10. Soit (Z t ) t≥0 est une surmartingale positive `
a trajectoires continues `
a droite. Soient U et V deux temps d’arrˆ et avec U ≤ V . Alors, Z U et Z V sont
dans L 1 , et
E[Z V 1 {V <∞} ] ≤ E[Z U 1 {U<∞} ].
D´ emonstration. Nous supposons d’abord que U et V sont born´ es. Soit p ≥ 1 un
entier tel que U ≤ p et V ≤ p. Posons, pour tout entier n ≥ 0,
U n =
p2 n −1
∑
k=0
k + 1
2 n 1 {k2 −n
∑
k=0
k + 1
2 n 1 {k2 −n
d’arrˆ et born´ es qui d´ ecroissent respectivement vers U et V , et U n ≤ V n pour tout
n ≥ 0. La continuit´ e `
a droite des trajectoires montre en particulier que Z U n −→ Z U et
Z V n −→ Z V quand n → ∞, p.s. Ensuite, une application du th´ eor` eme d’arrˆ et pour les
surmartingales discr` etes dans le cas born´ e (voir l’Appendice A2), dans la filtration
(F k/2 n+1 ) k≥0 , montre que, pour tout entier n ≥ 0,
Z U n+1 ≥ E[Z U n | F U n+1 ].
En posant Y n = Z U −n et H n = F U −n , pour tout n ∈ −N, on voit alors que la suite
(Y n ) n∈−N forme une surmartingale r´ etrograde dans la filtration (H n ) n∈−N . Comme,
pour tout n ∈ N, E[Z U n ] ≤ E[Z 0 ] (par application `
a nouveau du th´ eor` eme d’arrˆ et
discret), la suite (Y n ) n∈−N est born´ ee dans L 1 , et, d’apr` es les r´ esultats sur les surmartingales r´ etrogrades (voir l’Appendice A2), elle converge dans L 1 . Donc la convergence de Z U n vers Z U a aussi lieu dans L 1 et de mˆ eme la convergence de Z V n vers