3.4 Th´ eor` emes d’arrˆ et
51
E[X T 1 {T >t} | F t∧T ] = E[X T 1 {T >t} | F t ].
(3.5)
Or si A ∈ F t , on v´ erifie tr` es facilement que A ∩ {T > t} ∈ F T . On a ´
egalement
A ∩ {T > t} ∈ F t , et donc A ∩ {T > t} ∈ F t ∩ F T = F t∧T , ce qui entraˆ ıne
E[1 A 1 {T >t} X T ] = E[1 A 1 {T >t} E[X T | F t∧T ]] = E[1 A E[X T 1 {T >t} | F t∧T ]].
On voit ainsi que la variable E[X T 1 {T >t} | F t∧T ], qui est F t -mesurable, v´ erifie la
propri´ et´ e caract´ eristique de E[X T 1 {T >t} | F t ]. L’´ egalit´ e (3.5) en d´ ecoule, ce qui
compl` ete la preuve de (3.4) et de (ii).
Pour obtenir (i), il suffit maintenant d’appliquer (ii) `
a la martingale (uniform´ ement
int´ egrable) (X t∧a ) a≥0 , pour tout choix de a ≥ 0.
Exemples d’application. Avant tout, le th´ eor` eme d’arrˆ et est un outil de calcul explicite de probabilit´ es et de lois. Donnons deux exemples typiques et importants de
telles applications (plusieurs autres exemples se trouvent dans les exercices de ce
chapitre et des chapitres suivants). Soit B un mouvement brownien r´ eel issu de 0.
Pour tout r´ eel a, posons T a = inf{t ≥ 0 : B t = a}. Rappelons que T a < ∞ p.s.
(a) Loi du point de sortie d’un intervalle. Pour tout choix de a < 0 < b, on a
P(T a < T b ) =
b
b − a
, P(T b < T a ) =
−a
b − a
.
Pour obtenir ce r´ esultat on consid` ere le temps d’arrˆ et T = T a ∧ T b et la martingale
arrˆ et´ ee M t = B t∧T (c’est une martingale d’apr` es le Corollaire 3.2). Manifestement
M est born´ ee par b ∨ |a|, donc uniform´ ement int´ egrable, et on peut donc appliquer
le th´ eor` eme d’arrˆ et pour obtenir
0 = E[M 0 ] = E[M T ] = b P(T b < T a ) + a P(T a < T b ).
Comme on a aussi P(T b < T a )+ P(T a < T b ) = 1, la formule annonc´ ee en d´ ecoule. En
fait la preuve montre que ce r´ esultat est valable plus g´ en´ eralement si on remplace
le mouvement brownien par une martingale `
a trajectoires continues issue de 0, `
a
condition de savoir que le processus sort p.s. de ]a, b[.
(b) Transform´ ee de Laplace des temps d’atteinte. Nous fixons maintenant a > 0 et
notre but est de calculer la transform´ ee de Laplace de T a . Pour tout λ ∈ R, consid´ erons la martingale exponentielle
N
λ
t = exp(λ B t −
λ 2
2
t).
Supposons d’abord λ > 0. D’apr` es le Corollaire 3.2, le processus N λ
t∧T a
est encore
une martingale, et on voit imm´ ediatement que cette martingale est born´ ee par e λ a ,
donc uniform´ ement int´ egrable. En appliquant la derni` ere assertion du Th´ eor` eme 3.6
`
a cette martingale et au temps d’arrˆ et S = T a (ou S = ∞) on trouve
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E[X T 1 {T >t} | F t∧T ] = E[X T 1 {T >t} | F t ].
(3.5)
Or si A ∈ F t , on v´ erifie tr` es facilement que A ∩ {T > t} ∈ F T . On a ´
egalement
A ∩ {T > t} ∈ F t , et donc A ∩ {T > t} ∈ F t ∩ F T = F t∧T , ce qui entraˆ ıne
E[1 A 1 {T >t} X T ] = E[1 A 1 {T >t} E[X T | F t∧T ]] = E[1 A E[X T 1 {T >t} | F t∧T ]].
On voit ainsi que la variable E[X T 1 {T >t} | F t∧T ], qui est F t -mesurable, v´ erifie la
propri´ et´ e caract´ eristique de E[X T 1 {T >t} | F t ]. L’´ egalit´ e (3.5) en d´ ecoule, ce qui
compl` ete la preuve de (3.4) et de (ii).
Pour obtenir (i), il suffit maintenant d’appliquer (ii) `
a la martingale (uniform´ ement
int´ egrable) (X t∧a ) a≥0 , pour tout choix de a ≥ 0.
Exemples d’application. Avant tout, le th´ eor` eme d’arrˆ et est un outil de calcul explicite de probabilit´ es et de lois. Donnons deux exemples typiques et importants de
telles applications (plusieurs autres exemples se trouvent dans les exercices de ce
chapitre et des chapitres suivants). Soit B un mouvement brownien r´ eel issu de 0.
Pour tout r´ eel a, posons T a = inf{t ≥ 0 : B t = a}. Rappelons que T a < ∞ p.s.
(a) Loi du point de sortie d’un intervalle. Pour tout choix de a < 0 < b, on a
P(T a < T b ) =
b
b − a
, P(T b < T a ) =
−a
b − a
.
Pour obtenir ce r´ esultat on consid` ere le temps d’arrˆ et T = T a ∧ T b et la martingale
arrˆ et´ ee M t = B t∧T (c’est une martingale d’apr` es le Corollaire 3.2). Manifestement
M est born´ ee par b ∨ |a|, donc uniform´ ement int´ egrable, et on peut donc appliquer
le th´ eor` eme d’arrˆ et pour obtenir
0 = E[M 0 ] = E[M T ] = b P(T b < T a ) + a P(T a < T b ).
Comme on a aussi P(T b < T a )+ P(T a < T b ) = 1, la formule annonc´ ee en d´ ecoule. En
fait la preuve montre que ce r´ esultat est valable plus g´ en´ eralement si on remplace
le mouvement brownien par une martingale `
a trajectoires continues issue de 0, `
a
condition de savoir que le processus sort p.s. de ]a, b[.
(b) Transform´ ee de Laplace des temps d’atteinte. Nous fixons maintenant a > 0 et
notre but est de calculer la transform´ ee de Laplace de T a . Pour tout λ ∈ R, consid´ erons la martingale exponentielle
N
λ
t = exp(λ B t −
λ 2
2
t).
Supposons d’abord λ > 0. D’apr` es le Corollaire 3.2, le processus N λ
t∧T a
est encore
une martingale, et on voit imm´ ediatement que cette martingale est born´ ee par e λ a ,
donc uniform´ ement int´ egrable. En appliquant la derni` ere assertion du Th´ eor` eme 3.6
`
a cette martingale et au temps d’arrˆ et S = T a (ou S = ∞) on trouve